ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1613

Пусть данное трёхзначное число равно $x$ (где $100 \le x \le 999$). Если к числу $x$ приписать справа это же число, то разрядность исходного числа увеличится на 3 разряда (то есть оно сдвинется влево на три позиции), и к нему прибавится само число $x$. Тогда полученное шестизначное число можно записать в виде: $$ 1000 \cdot x + x = x \cdot (1000 + 1) = 1001x $$ Разложим множитель $1001$ на простые множители: $$ 1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13 $$ Подставим полученное разложение: $$ 1001x = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot x $$ Так как $x$ — натуральное число, а в произведении $7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot x$ присутствуют множители 7, 11 и 13, полученное шестизначное число делится без остатка на каждое из этих чисел: - $1001x$ кратно $7$, так как $1001x = 7 \cdot (143x)$; - $1001x$ кратно $11$, так как $1001x = 11 \cdot (91x)$; - $1001x$ кратно $13$, так как $1001x = 13 \cdot (77x)$. Что и требовалось доказать.