ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1612

Пусть $p$ — простое число, большее 3. Чтобы доказать, что число $p^2$ при делении на 12 даёт остаток 1, достаточно доказать, что разность $p^2 - 1$ делится нацело на 12. Разложим разность на множители по формуле разности квадратов: $$ p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) $$ Число 12 можно представить в виде произведения взаимно простых чисел: $12 = 3 \cdot 4$. Значит, число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на 3 и на 4. 1. **Докажем делимость на 4:** Так как $p$ — простое число и $p > 3$, число $p$ нечётно. Тогда числа $(p - 1)$ и $(p + 1)$ являются двумя последовательными чётными числами. Одно из них делится на 2, а другое обязательно делится на 4. Следовательно, их произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится не только на 4, но и на 8: $$ (p - 1)(p + 1) \ \vdots \ 4 $$ 2. **Докажем делимость на 3:** Рассмотрим три последовательных целых числа: $p - 1$, $p$, $p + 1$. Среди любых трёх последовательных целых чисел ровно одно делится на 3. Так как по условию $p$ — простое число, большее 3, само число $p$ не может делиться на 3. Значит, на 3 делится либо $(p - 1)$, либо $(p + 1)$. Следовательно, всё произведение делится на 3: $$ (p - 1)(p + 1) \ \vdots \ 3 $$ 3. **Вывод:** Поскольку произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на 4 и на 3, а числа 3 и 4 взаимно просты, то: $$ p^2 - 1 \ \vdots \ 12 $$ Это означает, что $p^2 - 1 = 12k$, где $k$ — натуральное число, откуда: $$ p^2 = 12k + 1 $$ Таким образом, квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 12 даёт остаток 1, что и требовалось доказать.