ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1213

Пусть данные натуральные числа равны $a$ и $b$. По условию, при делении на $5$ одно из чисел даёт остаток $4$, а другое — остаток $3$. Запишем их в общем виде: $a = 5n + 4$, где $n$ — целое неотрицательное число; $b = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число. Найдём сумму этих чисел: $$ a + b = (5n + 4) + (5k + 3) = 5n + 5k + 7 = 5(n + k + 1) + 2 $$ Сумма $(a + b)$ при делении на $5$ даёт остаток $2$. Произведение суммы и разности чисел по формуле разности квадратов равно: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ или $(b + a)(b - a) = b^2 - a^2$. Поскольку в условии не указано, какое из чисел является уменьшаемым, рассмотрим оба возможных случая для разности этих чисел. **Случай 1.** Разность берется как $(a - b)$ (когда первое число больше второго): $$ a - b = (5n + 4) - (5k + 3) = 5n - 5k + 1 = 5(n - k) + 1 $$ Разность при делении на $5$ даёт остаток $1$. Тогда произведение суммы и разности равно: $$ (a + b)(a - b) = (5(n + k + 1) + 2)(5(n - k) + 1) $$ Раскроем скобки: $$ (a + b)(a - b) = 5(n + k + 1) \cdot 5(n - k) + 5(n + k + 1) \cdot 1 + 2 \cdot 5(n - k) + 2 \cdot 1 $$ Все слагаемые, кроме последнего, делятся на $5$. Вынесем $5$ за скобки: $$ (a + b)(a - b) = 5 \cdot M + 2 $$ где $M$ — целое неотрицательное число. Значит, в этом случае остаток при делении на $5$ равен $2$. --- **Случай 2.** Разность берется как $(b - a)$ (когда второе число больше первого): $$ b - a = (5k + 3) - (5n + 4) = 5k - 5n - 1 = 5(k - n - 1) + 4 $$ Разность при делении на $5$ даёт остаток $4$. Тогда произведение суммы и разности равно: $$ (a + b)(b - a) = (5(n + k + 1) + 2)(5(k - n - 1) + 4) $$ Раскроем скобки: $$ (a + b)(b - a) = 5 \cdot K + 2 \cdot 4 = 5 \cdot K + 8 $$ Представим число $8$ в виде $5 \cdot 1 + 3$: $$ (a + b)(b - a) = 5(K + 1) + 3 $$ где $K$ — целое неотрицательное число. Значит, в этом случае остаток при делении на $5$ равен $3$. Ответ: $2$ (если из первого числа вычитается второе) или $3$ (если из второго числа вычитается первое).