ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 828

1) $32^{365} + 43^{241}$ Последняя цифра степени числа определяется последней цифрой его основания: * Для числа $32^{365}$ последняя цифра совпадает с последней цифрой степени $2^{365}$. Последовательность последних цифр степеней числа 2 повторяется с периодом 4: $2^1 = 2$; $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^4 = 16$ (оканчивается на 6); $2^5 = 32$ (оканчивается на 2) и так далее. Разделим показатель степени 365 на 4 с остатком: $$ 365 = 4 \cdot 91 + 1 $$ Остаток равен 1, следовательно, число $32^{365}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^1$, то есть на 2. * Для числа $43^{241}$ последняя цифра совпадает с последней цифрой степени $3^{241}$. Последовательность последних цифр степеней числа 3 также повторяется с периодом 4: $3^1 = 3$; $3^2 = 9$; $3^3 = 27$ (оканчивается на 7); $3^4 = 81$ (оканчивается на 1); $3^5 = 243$ (оканчивается на 3) и так далее. Разделим показатель степени 241 на 4 с остатком: $$ 241 = 4 \cdot 60 + 1 $$ Остаток равен 1, следовательно, число $43^{241}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^1$, то есть на 3. * Найдем последнюю цифру суммы: $2 + 3 = 5$. Число $32^{365} + 43^{241}$ оканчивается цифрой 5. 2) $27^{358} + 53^{275}$ * Для числа $27^{358}$ последняя цифра совпадает с последней цифрой степени $7^{358}$. Последовательность последних цифр степеней числа 7 повторяется с периодом 4: $7^1 = 7$; $7^2 = 49$ (оканчивается на 9); $7^3 = 343$ (оканчивается на 3); $7^4 = 2401$ (оканчивается на 1); $7^5$ оканчивается на 7 и так далее. Разделим показатель степени 358 на 4 с остатком: $$ 358 = 4 \cdot 89 + 2 $$ Остаток равен 2, следовательно, число $27^{358}$ оканчивается на ту же цифру, что и $7^2$, то есть на 9. * Для числа $53^{275}$ последняя цифра совпадает с последней цифрой степени $3^{275}$. Период повторения последних цифр степеней тройки равен 4 (цифры 3, 9, 7, 1). Разделим показатель степени 275 на 4 с остатком: $$ 275 = 4 \cdot 68 + 3 $$ Остаток равен 3, следовательно, число $53^{275}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^3$, то есть на 7. * Найдем последнюю цифру суммы: $9 + 7 = 16$ (оканчивается на 6). Число $27^{358} + 53^{275}$ оканчивается цифрой 6. **Ответ:** 1) 5; 2) 6.