ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень шаг вперёд - стр. 179

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$, не делящиеся на 3, причём большее из них — $a$, а меньшее — $b$ (то есть $a > b$). Используем доказанный ранее результат: квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 даёт в остатке 1. Тогда квадраты данных чисел можно представить в виде: $$ a^2 = 3p + 1 $$ $$ b^2 = 3q + 1 $$ где $p$ и $q$ — целые неотрицательные числа. Так как $a > b$, то $a^2 > b^2$, а значит, $p > q$. Вычтем из квадрата большего числа квадрат меньшего: $$ a^2 - b^2 = (3p + 1) - (3q + 1) $$ Раскроем скобки и приведём подобные члены: $$ a^2 - b^2 = 3p + 1 - 3q - 1 = 3p - 3q = 3(p - q) $$ Так как $p$ и $q$ — целые неотрицательные числа и $p > q$, то $(p - q)$ является натуральным числом. Произведение $3(p - q)$ содержит множитель 3, следовательно, число $(a^2 - b^2)$ кратно 3. Что и требовалось доказать.