ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень шаг вперёд - стр. 169

1. Воспользуемся подсказкой и представим слагаемое $17n$ в виде $18n - n$: $$ n^3 + 17n = n^3 - n + 18n = (n^3 - n) + 18n $$ Разложим выражение в первых скобках на множители, вынеся $n$ за скобки и применив формулу разности квадратов: $$ n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) $$ Получаем: $$ n^3 + 17n = (n - 1)n(n + 1) + 18n $$ Проанализируем каждое слагаемое: - Выражение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных чисел хотя бы одно делится на 2 (является чётным) и ровно одно делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, произведение делится на $2 \cdot 3 = 6$. - Слагаемое $18n$ делится на 6, так как число 18 кратно 6 ($18n = 6 \cdot 3n$). Так как каждое из слагаемых делится на 6, то и вся сумма $n^3 + 17n$ делится на 6 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать. --- 2. Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $$ n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) $$ Разложим многочлен в скобках способом группировки, представив $-5n^2$ как $-n^2 - 4n^2$: $$ n^4 - 5n^2 + 4 = n^4 - n^2 - 4n^2 + 4 = n^2(n^2 - 1) - 4(n^2 - 1) = (n^2 - 1)(n^2 - 4) $$ Применим формулу разности квадратов к обеим скобкам: $$ n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) $$ $$ n^2 - 4 = n^2 - 2^2 = (n - 2)(n + 2) $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ n^5 - 5n^3 + 4n = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) $$ Полученное выражение — произведение пяти последовательных целых чисел. Обоснуем его делимость на 120: - Разложим число 120 на попарно взаимно простые множители: $120 = 8 \cdot 3 \cdot 5$. - Среди пяти последовательных чисел обязательно найдётся число, кратное 5, поэтому всё произведение делится на 5. - Среди пяти последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно число, кратное 3, поэтому произведение делится на 3. - Среди пяти последовательных чисел есть как минимум два чётных числа, причём одно из них обязательно делится на 4 (так как каждое четвёртое целое число делится на 4), а другое — делится на 2. Следовательно, их произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$. Так как произведение делится на 5, 3 и 8, а эти числа попарно взаимно простые, то оно делится и на их произведение: $$ 5 \cdot 3 \cdot 8 = 120 $$ Таким образом, число $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.