ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 568

1) $2x^2 - 10x + x^2 - 25 = 0$ Сгруппируем слагаемые так, чтобы применить разложение на множители: $$ (2x^2 - 10x) + (x^2 - 25) = 0 $$ Вынесем общий множитель $2x$ из первых двух слагаемых, а выражение $x^2 - 25$ разложим по формуле разности квадратов: $$ 2x(x - 5) + (x - 5)(x + 5) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки: $$ (x - 5)(2x + x + 5) = 0 $$ $$ (x - 5)(3x + 5) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x - 5 = 0$ или $3x + 5 = 0$ $x_1 = 5$ $3x = -5 \implies x_2 = -\dfrac{5}{3} = -1\dfrac{2}{3}$ Ответ: $-1\dfrac{2}{3};\; 5$. --- 2) $x^2 + 4x + 4 - 16x^2 = 0$ Свернем первые три слагаемых по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: $$ (x^2 + 4x + 4) - 16x^2 = 0 $$ $$ (x + 2)^2 - (4x)^2 = 0 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ ((x + 2) - 4x)((x + 2) + 4x) = 0 $$ Приведем подобные слагаемые в каждой скобке: $$ (2 - 3x)(5x + 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $2 - 3x = 0$ или $5x + 2 = 0$ $3x = 2 \implies x_1 = \dfrac{2}{3}$ $5x = -2 \implies x_2 = -\dfrac{2}{5} = -0{,}4$ Ответ: $-0{,}4;\; \dfrac{2}{3}$. --- 3) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$ Сгруппируем слагаемые по парам: $$ (x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) + (x - 1) = 0 $$ Вынесем общие множители из каждой группы: $$ x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) + 1 \cdot (x - 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки: $$ (x - 1)(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 $$ Выражение во второй скобке представляет собой полный квадрат: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$: $$ (x - 1)(x^2 - 1)^2 = 0 $$ Разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов $(x - 1)(x + 1)$: $$ (x - 1)((x - 1)(x + 1))^2 = 0 $$ $$ (x - 1)(x - 1)^2(x + 1)^2 = 0 $$ $$ (x - 1)^3(x + 1)^2 = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ $(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$ Ответ: $-1;\; 1$. --- 4) $2x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$ Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $$ 2x(x^3 - x^2 - x + 1) = 0 $$ Разложим многочлен в скобках способом группировки: $$ 2x((x^3 - x^2) - (x - 1)) = 0 $$ $$ 2x(x^2(x - 1) - 1 \cdot (x - 1)) = 0 $$ Вынесем $(x - 1)$ за скобки: $$ 2x(x - 1)(x^2 - 1) = 0 $$ Разложим $x^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $$ 2x(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ 2x(x - 1)^2(x + 1) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: $2x = 0 \implies x_1 = 0$ $(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ $x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$ Ответ: $-1;\; 0;\; 1$.