ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень устные вопросы и задания - §29

### 1. Чтение формул 1) **Формула квадрата суммы двух чисел:** $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ *Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.* 2) **Формула квадрата разности двух чисел:** $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ *Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.* 3) **Формула куба суммы двух чисел:** $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ *Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго плюс куб второго числа.* 4) **Формула куба разности двух чисел:** $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ *Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго минус куб второго числа.* --- ### 2. Применение приближённого равенства Приближённое равенство $$(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$$ используют для вычислений в тех случаях, когда число $|b|$ значительно меньше числа $|a|$ (слагаемое $b$ мало по сравнению с $a$). В этом случае величина $b^2$ оказывается настолько малой, что ею можно пренебречь при практических расчётах. --- ### 3. Обоснование формулы квадрата суммы с помощью рисунка 18 Рассмотрим квадрат со стороной, равной $a + b$. 1. Площадь всего квадрата равна квадрату его стороны: $$S = (a + b)^2$$ 2. Разобьём этот квадрат прямыми, параллельными сторонам, на четыре фигуры: * квадрат со стороной $a$, его площадь равна $a^2$; * два равных прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, площадь каждого равна $ab$; * квадрат со стороной $b$, его площадь равна $b^2$. 3. Площадь исходного квадрата равна сумме площадей всех четырёх получившихся фигур: $$S = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ Приравнивая выражения для площади $S$, получаем тождество: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ --- ### 4. Геометрическое обоснование формулы квадрата разности Пусть даны положительные числа $a$ и $b$, причём $a > b$. 1. Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его площадь равна: $$S_{\text{бол}} = a^2$$ 2. Внутри этого квадрата построим квадрат со стороной $(a - b)$, площадь которого требуется найти: $$S = (a - b)^2$$ 3. Чтобы получить площадь этого квадрата, вычтем из площади большого квадрата площади двух полос (прямоугольников) шириной $b$ и длиной $a$: * Площадь первой полосы равна $ab$. * Площадь второй полосы равна $ab$. 4. Заметим, что при таком вычитании угловой квадрат со стороной $b$ (площадью $b^2$) попадает в обе полосы, то есть вычитается дважды. Чтобы восстановить верную площадь, нужно прибавить площадь этого квадрата один раз: $$(a - b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2$$ Приводя подобные члены, получаем: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$