ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 836

**1)** Выразим сумму квадратов $x^2 + y^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел: $$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ Отсюда выразим $x^2 + y^2$: $$ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy $$ Подставим известные значения $x + y = a$ и $xy = b$: $$ x^2 + y^2 = a^2 - 2b $$ **2)** Выразим сумму кубов $x^3 + y^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $$ Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $$ x^3 + y^3 = (x + y)((x^2 + y^2) - xy) $$ Подставим значения $x + y = a$, $xy = b$, а также найденное выражение $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$: $$ x^3 + y^3 = a(a^2 - 2b - b) = a(a^2 - 3b) = a^3 - 3ab $$ **3)** Выразим сумму четвертых степеней $x^4 + y^4$. Представим слагаемые как квадраты: $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Тогда по формуле квадрата суммы: $$ (x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 + 2(xy)^2 + y^4 $$ Отсюда выразим $x^4 + y^4$: $$ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 $$ Подставим полученное в пункте 1 выражение $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$ и $xy = b$: $$ x^4 + y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2b^2 $$ Раскроем квадрат разности и приведем подобные слагаемые: $$ x^4 + y^4 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2b + (2b)^2 - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 4b^2 - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2 $$ **4)** Выразим сумму пятых степеней $x^5 + y^5$. Перемножим выражения $(x^2 + y^2)$ и $(x^3 + y^3)$: $$ (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = x^5 + x^2y^3 + x^3y^2 + y^5 = x^5 + y^5 + x^2y^2(y + x) = x^5 + y^5 + (xy)^2(x + y) $$ Отсюда выразим $x^5 + y^5$: $$ x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - (xy)^2(x + y) $$ Подставим результаты из предыдущих пунктов: $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$, $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$, а также условия $xy = b$ и $x + y = a$: $$ x^5 + y^5 = (a^2 - 2b)(a^3 - 3ab) - b^2 \cdot a $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ x^5 + y^5 = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 - ab^2 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2 $$ **Ответ:** 1) $a^2 - 2b$; 2) $a^3 - 3ab$; 3) $a^4 - 4a^2b + 2b^2$; 4) $a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.