ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 817

**1)** Найдем последнюю цифру числа $32^{365} + 43^{241}$. Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания. 1. Определим последнюю цифру числа $32^{365}$. Она совпадает с последней цифрой степени $2^{365}$. Выпишем последние цифры последовательных степеней числа 2: $2^1 = 2$ (оканчивается на 2); $2^2 = 4$ (оканчивается на 4); $2^3 = 8$ (оканчивается на 8); $2^4 = 16$ (оканчивается на 6); $2^5 = 32$ (оканчивается на 2). Последние цифры повторяются с периодом 4: 2, 4, 8, 6. Разделим показатель степени 365 на 4 с остатком: $$ 365 = 4 \cdot 91 + 1 $$ Остаток равен 1, следовательно, число $32^{365}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^1$, то есть на 2. 2. Определим последнюю цифру числа $43^{241}$. Она совпадает с последней цифрой степени $3^{241}$. Выпишем последние цифры последовательных степеней числа 3: $3^1 = 3$ (оканчивается на 3); $3^2 = 9$ (оканчивается на 9); $3^3 = 27$ (оканчивается на 7); $3^4 = 81$ (оканчивается на 1); $3^5 = 243$ (оканчивается на 3). Последние цифры повторяются с периодом 4: 3, 9, 7, 1. Разделим показатель степени 241 на 4 с остатком: $$ 241 = 4 \cdot 60 + 1 $$ Остаток равен 1, значит, число $43^{241}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^1$, то есть на 3. 3. Найдем последнюю цифру суммы: $$ 2 + 3 = 5 $$ Число $32^{365} + 43^{241}$ оканчивается на 5. --- **2)** Найдем последнюю цифру числа $27^{358} + 53^{275}$. 1. Определим последнюю цифру числа $27^{358}$. Она совпадает с последней цифрой степени $7^{358}$. Выпишем последние цифры последовательных степеней числа 7: $7^1 = 7$ (оканчивается на 7); $7^2 = 49$ (оканчивается на 9); $7^3 = 343$ (оканчивается на 3); $7^4 = 2401$ (оканчивается на 1); $7^5 = 16807$ (оканчивается на 7). Последние цифры повторяются с периодом 4: 7, 9, 3, 1. Разделим показатель степени 358 на 4 с остатком: $$ 358 = 4 \cdot 89 + 2 $$ Остаток равен 2, значит, число $27^{358}$ оканчивается на ту же цифру, что и $7^2$, то есть на 9. 2. Определим последнюю цифру числа $53^{275}$. Она совпадает с последней цифрой степени $3^{275}$. Период повторения последних цифр для числа 3 равен 4 (цифры 3, 9, 7, 1). Разделим показатель степени 275 на 4 с остатком: $$ 275 = 4 \cdot 68 + 3 $$ Остаток равен 3, значит, число $53^{275}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^3$, то есть на 7. 3. Найдем последнюю цифру суммы: $$ 9 + 7 = 16 $$ Следовательно, последняя цифра равна 6. Число $27^{358} + 53^{275}$ оканчивается на 6. **Ответ:** 1) 5; 2) 6.