ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 788

1) Разложим данное выражение на множители. Заметим, что разность квадратов в первой скобке можно представить как $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Тогда: $$ (x^2 - 9)^2 = ((x - 3)(x + 3))^2 = (x - 3)^2 (x + 3)^2 $$ Подставим это в исходное выражение и вынесем общий множитель $(x + 3)^2$ за скобки: $$ (x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2 = (x - 3)^2 (x + 3)^2 - (x + 3)^2 = (x + 3)^2 ((x - 3)^2 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению во вторых скобках: $$ (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) $$ Таким образом: $$ (x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2 = (x + 3)^2 (x - 2)(x - 4) $$ Ответ: $(x + 3)^2 (x - 2)(x - 4)$. 2) Найдем значения $x$, при которых значение выражения равно нулю. Используем разложение на множители: $$ (x + 3)^2 (x - 2)(x - 4) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ Ответ: при $x = -3$, $x = 2$, $x = 4$. 3) Запишем данное выражение в виде многочлена стандартного вида. Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $$ (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81 $$ $$ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 $$ Выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $$ (x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2 = (x^4 - 18x^2 + 81) - (x^2 + 6x + 9) $$ $$ = x^4 - 18x^2 + 81 - x^2 - 6x - 9 = x^4 - 19x^2 - 6x + 72 $$ Ответ: $x^4 - 19x^2 - 6x + 72$. 4) Найдем числовое значение данного выражения: При $x = -3$: $$ ((-3)^2 - 9)^2 - (-3 + 3)^2 = (9 - 9)^2 - 0^2 = 0^2 - 0 = 0 $$ При $x = 3$: $$ (3^2 - 9)^2 - (3 + 3)^2 = (9 - 9)^2 - 6^2 = 0^2 - 36 = -36 $$ Ответ: при $x = -3$ значение равно $0$; при $x = 3$ значение равно $-36$. 5) Сократим дробь: $$ \frac{(x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2}{(x + 3)^2} $$ Подставим разложение числителя на множители, полученное в пункте 1: $$ \frac{(x + 3)^2 (x - 2)(x - 4)}{(x + 3)^2} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x + 3)^2$ при условии $x \neq -3$: $$ (x - 2)(x - 4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8 $$ Ответ: $(x - 2)(x - 4)$ (или $x^2 - 6x + 8$).