ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 368

Для доказательства применим формулу разности квадратов двух выражений: $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ Пусть $a = 7n + 1$, а $b = 2n - 4$. Тогда заданное выражение можно разложить на множители: $$ (7n+1)^2 - (2n-4)^2 = ((7n + 1) - (2n - 4))((7n + 1) + (2n - 4)) $$ Раскроем скобки внутри каждого множителя и приведём подобные слагаемые: 1) Первая скобка: $(7n + 1) - (2n - 4) = 7n + 1 - 2n + 4 = 5n + 5 = 5(n + 1)$. 2) Вторая скобка: $(7n + 1) + (2n - 4) = 7n + 1 + 2n - 4 = 9n - 3 = 3(3n - 1)$. Перемножим полученные выражения: $$ (7n+1)^2 - (2n-4)^2 = 5(n + 1) \cdot 3(3n - 1) = 15(n + 1)(3n - 1) $$ Так как $n$ — натуральное число, то выражение $(n + 1)(3n - 1)$ также является целым числом. Полученное произведение содержит числовой множитель $15$, следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения $(7n+1)^2 - (2n-4)^2$ делится на $15$, что и требовалось доказать.