ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 367

Пусть $n$ — первое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), тогда следующее за ним последовательное натуральное число равно $n + 1$. Составим выражение для модуля разности квадратов этих чисел: $$ |(n + 1)^2 - n^2| $$ Преобразуем выражение под знаком модуля, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы: $$ (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 $$ Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2n + 1$ строго положительно, следовательно: $$ |2n + 1| = 2n + 1 $$ (Если записать разность в обратном порядке, то $|n^2 - (n + 1)^2| = |-(2n + 1)| = 2n + 1$, результат не изменится). Выражение $2n + 1$ при любом натуральном $n$ представляет собой число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Следовательно, число $2n + 1$ является нечётным. Что и требовалось доказать.