ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 41 - 41.19

1) $$ \left( \frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2 + n^2 + 2an} \right) : \left( \frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2 - n^2} \right) $$ Применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2 + 2an + n^2 = (a+n)^2$ и разность квадратов $a^2 - n^2 = (a-n)(a+n)$. 1. Выполним вычитание в первой скобке (общий знаменатель $(a+n)^2$): $$ \frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2(a+n) - a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3 + a^2n - a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} $$ 2. Выполним вычитание во второй скобке (общий знаменатель $(a-n)(a+n)$): $$ \frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a(a-n) - a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2 - an - a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)} $$ 3. Выполним деление дробей: $$ \frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \left( -\frac{(a-n)(a+n)}{an} \right) = -\frac{a(a-n)}{a+n} = \frac{a(n-a)}{a+n} $$ Ответ: $\frac{a(n-a)}{a+n}$ (или $\frac{an-a^2}{a+n}$). --- 2) $$ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right) $$ Разложим знаменатели на множители: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$ и $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 = (y+x)^2$. 1. Выполним сложение в скобках (общий знаменатель $(y-x)(y+x)^2$): $$ \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(y+x)^2} = \frac{(y+x) + (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} $$ 2. Выполним деление: $$ \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y} = 2x(y+x) = 2x^2 + 2xy $$ Ответ: $2x(x+y)$ (или $2x^2 + 2xy$). --- 3) $$ \left( \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2 + 4ab + b^2} \right) : \left( \frac{2a}{4a^2 - b^2} + \frac{1}{b-2a} \right) $$ 1. В первой скобке знаменатель второй дроби свернем по формуле квадрата суммы: $4a^2 + 4ab + b^2 = (2a+b)^2$: $$ \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b) - 4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2 + 2ab - 4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} $$ 2. Во второй скобке разложим разность квадратов $4a^2 - b^2 = (2a-b)(2a+b)$ и вынесем знак «минус» из второго знаменателя: $b-2a = -(2a-b)$: $$ \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} = \frac{2a - (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - 2a - b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{2ab}{(2a+b)^2} : \left( -\frac{b}{(2a-b)(2a+b)} \right) = -\frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{b} = -\frac{2a(2a-b)}{2a+b} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b} $$ Ответ: $\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$ (или $\frac{2ab-4a^2}{2a+b}$). --- 4) $$ \left( \frac{x-2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} \right) : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} $$ 1. Выполним действие в скобках. Разложим знаменатели: $x^2 + 2xy = x(x+2y)$ и $x^2 - 4y^2 = (x-2y)(x+2y)$: $$ \frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)^2 - x}{x(x-2y)(x+2y)} = \frac{x^2 - 4xy + 4y^2 - x}{x(x-2y)(x+2y)} $$ 2. Выполним деление, учитывая, что $(2y-x)^2 = (x-2y)^2$: $$ \frac{x^2 - 4xy + 4y^2 - x}{x(x-2y)(x+2y)} : \frac{x+2y}{(x-2y)^2} = \frac{x^2 - 4xy + 4y^2 - x}{x(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x^2 - 4xy + 4y^2 - x)(x-2y)}{x(x+2y)^2} $$ 3. Выполним умножение на последнюю дробь: $$ \frac{(x^2 - 4xy + 4y^2 - x)(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{(x-2y)(x^2 - 4xy + 4y^2 - x)}{4xy^2} $$ Ответ: $\frac{(x-2y)(x^2 - 4xy + 4y^2 - x)}{4xy^2}$. *(Примечание: если в условии задачи была допущена типографская опечатка и деление относилось только ко второй дроби внутри скобок, то есть $\left( \frac{x-2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \right) \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$, то выражение принимает вид:* $$ \left( \frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} \right) \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{x-2y}{2xy} $$ *)* --- 5) $$ \frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 - 0,64x^2} - \frac{50}{9a - 8x} + \frac{1}{ax} $$ 1. Упростим первую дробь. Умножим ее числитель и знаменатель на $100$, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$ \frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 - 0,64x^2} = \frac{(4,5a + 4x) \cdot 100}{(0,81a^2 - 0,64x^2) \cdot 100} = \frac{450a + 400x}{81a^2 - 64x^2} $$ 2. В числителе вынесем общий множитель $50$, а знаменатель разложим как разность квадратов: $$ \frac{50(9a + 8x)}{(9a - 8x)(9a + 8x)} = \frac{50}{9a - 8x} $$ 3. Подставим упрощенную дробь обратно в выражение: $$ \frac{50}{9a - 8x} - \frac{50}{9a - 8x} + \frac{1}{ax} = 0 + \frac{1}{ax} = \frac{1}{ax} $$ Ответ: $\frac{1}{ax}$.