ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 41 - 41.17

### 41.17 **1)** Выполним действия в выражении: $$ \left( a^2 - 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 \right) $$ 1. Приведём выражение во второй скобке к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2 - 1$: $$ \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 = \frac{1 \cdot (a+1) - 1 \cdot (a-1) + 1 \cdot (a^2 - 1)}{(a-1)(a+1)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{a + 1 - a + 1 + a^2 - 1}{a^2 - 1} = \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} $$ 2. Выполним умножение: $$ \left( a^2 - 1 \right) \cdot \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = \frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)}{a^2 - 1} = a^2 + 1 $$ **Ответ:** $a^2 + 1$ --- **2)** Выполним действия в выражении: $$ \left( \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} \right) \cdot \left( x - \frac{x^2 + y^2}{x+y} \right) $$ 1. Преобразуем первую скобку, приведя дроби к общему знаменателю $y(x-y)$: $$ \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y) + 2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x - y + 2y}{y(x-y)} = \frac{x + y}{y(x-y)} $$ 2. Преобразуем вторую скобку, приведя к общему знаменателю $(x+y)$: $$ x - \frac{x^2 + y^2}{x+y} = \frac{x(x+y) - (x^2 + y^2)}{x+y} = \frac{x^2 + xy - x^2 - y^2}{x+y} = \frac{xy - y^2}{x+y} $$ Вынесем общий множитель $y$ за скобки в числителе: $$ \frac{y(x-y)}{x+y} $$ 3. Перемножим полученные дроби и сократим: $$ \frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1 $$ **Ответ:** $1$ --- **3)** Выполним действия в выражении: $$ \left( x + 1 - \frac{1}{1-x} \right) : \left( x - \frac{x^2}{x-1} \right) $$ 1. Упростим выражение в первой скобке. Изменим знак в знаменателе дроби: $1 - x = -(x - 1)$, тогда $-\frac{1}{1-x} = +\frac{1}{x-1}$: $$ x + 1 + \frac{1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1) + 1}{x-1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} $$ 2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(x-1)$: $$ x - \frac{x^2}{x-1} = \frac{x(x-1) - x^2}{x-1} = \frac{x^2 - x - x^2}{x-1} = \frac{-x}{x-1} $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{x^2}{x-1} : \frac{-x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} \cdot \left( -\frac{x-1}{x} \right) = -\frac{x^2(x-1)}{x(x-1)} = -x $$ **Ответ:** $-x$ --- **4)** Выполним действия в выражении: $$ \left( a + b - \frac{2ab}{a+b} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} \right) $$ 1. Преобразуем первую скобку, приведя к общему знаменателю $(a+b)$: $$ a + b - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b) - 2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{a+b} $$ Применим формулу квадрата суммы: $$ \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2ab}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{a+b} $$ 2. Преобразуем вторую скобку, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+b)$: $$ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{a^2 + b^2}{a+b} : \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2 + b^2} = a $$ **Ответ:** $a$