ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 33 - 33.20

**1)** Преобразуем выражение $(a + x)^3 - a(a + x)^2 - x^2(2a + x) - a^2x$, раскрыв скобки с помощью формул сокращенного умножения: 1. Раскроем куб суммы: $$ (a + x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 $$ 2. Раскроем квадрат суммы и умножим на $-a$: $$ -a(a + x)^2 = -a(a^2 + 2ax + x^2) = -a^3 - 2a^2x - ax^2 $$ 3. Раскроем скобки в остальных слагаемых: $$ -x^2(2a + x) = -2ax^2 - x^3 $$ 4. Подставим полученные многочлены в исходное выражение: $$ a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 - a^3 - 2a^2x - ax^2 - 2ax^2 - x^3 - a^2x $$ 5. Сгруппируем подобные слагаемые: $$ (a^3 - a^3) + (3a^2x - 2a^2x - a^2x) + (3ax^2 - ax^2 - 2ax^2) + (x^3 - x^3) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 $$ Значение выражения равно $0$ при любых значениях $a$ и $x$. Тождество доказано. --- **2)** Преобразуем выражение $(a - 1)^3 + 3(a - 1)^2 + 3(a - 1) + 1 - a^3$: Заметим, что первые четыре слагаемых представляют собой формулу куба суммы вида $y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = (y + 1)^3$, где $y = a - 1$: $$ (a - 1)^3 + 3(a - 1)^2 + 3(a - 1) + 1 = ((a - 1) + 1)^3 = a^3 $$ Подставим полученный результат в выражение: $$ a^3 - a^3 = 0 $$ *Другой способ (раскрытие скобок):* 1. $(a - 1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1$ 2. $3(a - 1)^2 = 3(a^2 - 2a + 1) = 3a^2 - 6a + 3$ 3. $3(a - 1) = 3a - 3$ Сложим все слагаемые: $$ (a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + (3a^2 - 6a + 3) + (3a - 3) + 1 - a^3 $$ $$ = (a^3 - a^3) + (-3a^2 + 3a^2) + (3a - 6a + 3a) + (-1 + 3 - 3 + 1) = 0 $$ Значение выражения равно $0$ при любых значениях $a$. Тождество доказано. --- **3)** Преобразуем выражение $(x^3 + y^3)^2 - (x^2 + y^2)^3 + 3x^2y^2(x + y)^2 - 8x^3y^3$: 1. Применим формулу квадрата суммы: $$ (x^3 + y^3)^2 = (x^3)^2 + 2x^3y^3 + (y^3)^2 = x^6 + 2x^3y^3 + y^6 $$ 2. Применим формулу куба суммы: $$ -(x^2 + y^2)^3 = -((x^2)^3 + 3(x^2)^2y^2 + 3x^2(y^2)^2 + (y^2)^3) = -x^6 - 3x^4y^2 - 3x^2y^4 - y^6 $$ 3. Раскроем квадрат суммы и выполним умножение: $$ 3x^2y^2(x + y)^2 = 3x^2y^2(x^2 + 2xy + y^2) = 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4 $$ 4. Подставим все части в исходное выражение: $$ x^6 + 2x^3y^3 + y^6 - x^6 - 3x^4y^2 - 3x^2y^4 - y^6 + 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4 - 8x^3y^3 $$ 5. Приведем подобные слагаемые: $$ (x^6 - x^6) + (y^6 - y^6) + (-3x^4y^2 + 3x^4y^2) + (-3x^2y^4 + 3x^2y^4) + (2x^3y^3 + 6x^3y^3 - 8x^3y^3) $$ $$ = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 $$ Значение выражения равно $0$ при любых значениях $x$ и $y$. Тождество доказано. --- **4)** Преобразуем выражение $(m - 3n)^3 - (2m - 3n)(3mn + (m - 3n)^2) + m^3$: 1. Раскроем куб разности: $$ (m - 3n)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 3n + 3 \cdot m \cdot (3n)^2 - (3n)^3 = m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3 $$ 2. Упростим выражение во второй скобке: $$ 3mn + (m - 3n)^2 = 3mn + m^2 - 6mn + 9n^2 = m^2 - 3mn + 9n^2 $$ 3. Выполним умножение многочленов: $$ (2m - 3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) = 2m(m^2 - 3mn + 9n^2) - 3n(m^2 - 3mn + 9n^2) $$ $$ = 2m^3 - 6m^2n + 18mn^2 - 3m^2n + 9mn^2 - 27n^3 = 2m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3 $$ 4. Подставим полученные результаты в исходное выражение: $$ (m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3) - (2m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3) + m^3 $$ $$ = m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3 - 2m^3 + 9m^2n - 27mn^2 + 27n^3 + m^3 $$ 5. Приведем подобные слагаемые: $$ (m^3 - 2m^3 + m^3) + (-9m^2n + 9m^2n) + (27mn^2 - 27mn^2) + (-27n^3 + 27n^3) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 $$ Значение выражения равно $0$ при любых значениях $m$ и $n$. Тождество доказано.