### Ответ
**а)** Треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Перпендикулярные отрезки: **$AB$ и $BC$** ($AB \perp BC$).
**б)** Длины сторон треугольника $KMN$ в $2$ раза меньше соответствующих длин сторон треугольника $ABC$, следовательно, они пропорциональны:
$$\frac{KM}{AB} = \frac{KN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$
---
### Подробное объяснение и решение
#### 1. Построение треугольника $ABC$
На координатной плоскости отметим точки:
* $A(3; 5)$
* $B(3; -2)$
* $C(-5; -2)$
Соединим их отрезками.
---
#### 2. Пункт а) Проверка на прямоугольность
* Отрезок $AB$ лежит на вертикальной прямой (абсциссы обеих точек одинаковы: $x = 3$). Длина отрезка $AB = 5 - (-2) = 7$ единичных отрезков.
* Отрезок $BC$ лежит на горизонтальной прямой (ординаты обеих точек одинаковы: $y = -2$). Длина отрезка $BC = 3 - (-5) = 8$ единичных отрезков.
* Вертикальная и горизонтальная прямые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Значит, угол $\angle B = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ является прямоугольным.
* **Перпендикулярные отрезки:** $AB \perp BC$.
---
#### 3. Пункт б) Нахождение координат середин сторон и проверка пропорциональности
Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
1. **Точка $K$** — середина стороны $AC$:
$$x_K = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \quad y_K = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \implies K(-1; 1{,}5)$$
2. **Точка $M$** — середина стороны $BC$:
$$x_M = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \quad y_M = \frac{-2 + (-2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \implies M(-1; -2)$$
3. **Точка $N$** — середина стороны $AB$:
$$x_N = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3, \quad y_N = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \implies N(3; 1{,}5)$$
---
#### 4. Сравнение сторон треугольников $KMN$ и $ABC$
1. **Отрезок $KM$** вертикальный (лежит на прямой $x = -1$):
$$KM = 1{,}5 - (-2) = 3{,}5$$
Сравним со стороной $AB = 7$:
$$\frac{KM}{AB} = \frac{3{,}5}{7} = \frac{1}{2}$$
2. **Отрезок $KN$** горизонтальный (лежит на прямой $y = 1{,}5$):
$$KN = 3 - (-1) = 4$$
Сравним со стороной $BC = 8$:
$$\frac{KN}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
3. **Отрезки $MN$ и $AC$** являются средними линиями и гипотенузами:
Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $BC$ и $AB$, поэтому по свойству средней линии он равен половине третьей стороны $AC$:
$$MN = \frac{1}{2} AC \implies \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$$
**Вывод:** Все отношения соответствующих сторон равны одному и тому же числу ($\frac{1}{2}$), значит, стороны треугольника $KMN$ пропорциональны сторонам треугольника $ABC$.
