### Ответ
1. **Взаимно обратные числа** — это два числа, произведение которых равно $1$.
*Примеры:* $\dfrac{3}{5}$ и $\dfrac{5}{3}$; $7$ и $\dfrac{1}{7}$.
2. Числу $\dfrac{a}{b}$ обратно число **$\dfrac{b}{a}$** (при $a \neq 0, b \neq 0$).
3. Натуральному числу $m$ обратно число **$\dfrac{1}{m}$**.
4. Чтобы записать число, обратное **смешанному числу**, нужно сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, а затем поменять местами её числитель и знаменатель.
5. Чтобы найти **частное смешанных чисел**, нужно сначала перевести их в неправильные дроби, а затем делимое умножить на число, обратное делителю.
6. Чтобы **разделить дробь на натуральное число**, нужно её знаменатель умножить на это натуральное число, а числитель оставить прежним: $\dfrac{a}{b} : n = \dfrac{a}{b \cdot n}$.
---
### Подробное объяснение и примеры
1. **Определение взаимно обратных чисел:**
Два числа называют взаимно обратными, если при их перемножении получается единица:
$$x \cdot y = 1$$
*Пример 1:* Числа $\dfrac{4}{7}$ и $\dfrac{7}{4}$ взаимно обратные, так как $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{28}{28} = 1$.
*Пример 2:* Числа $6$ и $\dfrac{1}{6}$ взаимно обратные, так как $6 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$.
2. **Число, обратное обыкновенной дроби $\dfrac{a}{b}$:**
Для любой обыкновенной дроби $\dfrac{a}{b}$ (где числитель и знаменатель не равны нулю) обратным числом является дробь, «перевёрнутая» относительно исходной, то есть $\dfrac{b}{a}$:
$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a} = 1$$
3. **Число, обратное натуральному числу $m$:**
Любое натуральное число $m$ можно записать в виде дроби со знаменателем $1$: $m = \dfrac{m}{1}$.
Следовательно, обратным для него будет число $\dfrac{1}{m}$.
4. **Число, обратное смешанному числу:**
* **Шаг 1.** Переводим смешанное число в неправильную дробь: целую часть умножаем на знаменатель, прибавляем числитель и записываем результат в числитель, оставляя знаменатель тем же.
* **Шаг 2.** Меняем местами числитель и знаменатель полученной дроби.
*Пример:* Для числа $2\dfrac{1}{3}$ сначала получаем неправильную дробь $\dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}$. Обратным числом будет $\dfrac{3}{7}$.
5. **Деление смешанных чисел (нахождение частного):**
* **Шаг 1.** Представить оба смешанных числа в виде неправильных дробей.
* **Шаг 2.** Деление заменить умножением на дробь, обратную делителю (вторую дробь «перевернуть»).
* **Шаг 3.** Выполнить умножение обыкновенных дробей (при возможности выполнить сокращение).
*Пример:*
$$1\dfrac{1}{2} : 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{\bcancel{3}^1 \cdot \bcancel{4}^2}{\bcancel{2}_1 \cdot \bcancel{9}_3} = \dfrac{2}{3}$$
6. **Деление дроби на натуральное число:**
Поскольку деление заменяется умножением на число, обратное делителю, деление на натуральное число $n$ равносильно умножению на дробь $\dfrac{1}{n}$:
$$\dfrac{a}{b} : n = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{a}{b \cdot n}$$
*Пример:*
$$\dfrac{4}{7} : 3 = \dfrac{4}{7 \cdot 3} = \dfrac{4}{21}$$
