### Ответ
1. **Правило умножения дроби на натуральное число:**
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
2. **Алгоритм умножения двух дробей:**
- Перемножить числители данных дробей и записать результат в числитель нового произведения;
- Перемножить знаменатели данных дробей и записать результат в знаменатель нового произведения;
- При необходимости сократить полученную дробь и выделить из неё целую часть.
3. **Умножение смешанных чисел:**
Чтобы перемножить смешанные числа, нужно сначала перевести их в неправильные дроби, а затем выполнить умножение по правилу умножения обыкновенных дробей.
4. **Свойства умножения дробей:**
- **Переместительное свойство:** $a \cdot b = b \cdot a$ (от перемены мест множителей произведение не меняется);
- **Сочетательное свойство:** $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего);
- **Распределительное свойство относительно сложения:** $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$;
- **Распределительное свойство относительно вычитания:** $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.
5. **Произведение смешанного числа с нулём и единицей:**
- Произведение любого смешанного числа и **нуля** равно **нулю** ($a \cdot 0 = 0$).
- Произведение любого смешанного числа и **единицы** равно **самому этому числу** ($a \cdot 1 = a$).
---
### Объяснение и примеры
1. **Умножение дроби на натуральное число:**
Формула: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$
*Пример:* $\frac{2}{9} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{9} = \frac{8}{9}$.
2. **Умножение двух дробей:**
Формула: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
*Пример:* $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 7} = \frac{15}{28}$.
*(Если есть возможность, числа в числителе и знаменателе сокращают до окончательного перемножения).*
3. **Умножение смешанных чисел:**
*Пример:*
$$1\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} \cdot \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{11}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot 11}{3 \cdot \cancel{5}} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$$
4. **Особые случаи с $0$ и $1$:**
- $3\frac{4}{7} \cdot 0 = 0$
- $3\frac{4}{7} \cdot 1 = 3\frac{4}{7}$
