Объяснение и пошаговое решение
## Проверочная работа № 1
### Ответы
1. **а)** 2, 6, 10, 18, 180, 3450;
**б)** 10, 180, 3450;
**в)** 5, 291, 2323, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333;
**г)** 5, 15 555, 20 605;
**д)** 18, 180, 333 333;
**е)** 6, 291, 3450, 15 555, 33 333;
**ж)** 6, 18, 180, 3450.
2. Нет, нельзя.
3. 72 рисунка.
4. $1528$.
---
### Решение и объяснение
**1. Признаки делимости:**
* **а)** Число делится на $2$, если оно оканчивается на чётную цифру ($0, 2, 4, 6, 8$). Подходят: $2, 6, 10, 18, 180, 3450$.
* **б)** Число делится на $10$, если его последняя цифра $0$. Подходят: $10, 180, 3450$.
* **в)** Число не делится на $2$, если оно оканчивается на нечётную цифру ($1, 3, 5, 7, 9$). Подходят: $5, 291, 2323, 15\,555, 20\,605, 33\,333, 333\,333$.
* **г)** Число делится на $5$, если оканчивается на $0$ или $5$. Чтобы число не делилось на $10$, оно должно оканчиваться строго на $5$. Подходят: $5, 15\,555, 20\,605$.
* **д)** Число кратно $9$, если сумма его цифр делится на $9$:
* $18 \rightarrow 1 + 8 = 9$ (делится);
* $180 \rightarrow 1 + 8 + 0 = 9$ (делится);
* $333\,333 \rightarrow 3 \cdot 6 = 18$ (делится).
Подходят: $18, 180, 333\,333$.
* **е)** Число делится на $3$, но не на $9$, если сумма цифр делится на $3$, но не кратна $9$:
* $6$ (делится на $3$, не делится на $9$);
* $291 \rightarrow 2 + 9 + 1 = 12$ (делится на $3$, не делится на $9$);
* $3450 \rightarrow 3 + 4 + 5 + 0 = 12$ (делится на $3$, не делится на $9$);
* $15\,555 \rightarrow 1 + 5 \cdot 4 = 21$ (делится на $3$, не делится на $9$);
* $33\,333 \rightarrow 3 \cdot 5 = 15$ (делится на $3$, не делится на $9$).
Подходят: $6, 291, 3450, 15\,555, 33\,333$.
* **ж)** Число делится на $2$ и на $3$ одновременно, если оно чётное и сумма его цифр делится на $3$. Подходят: $6, 18, 180, 3450$.
**2.** Если число делится на $10$, оно обязательно оканчивается на цифру $0$. Так как $0$ — чётная цифра, такое число всегда будет делиться на $2$. Поэтому найти такое число **нельзя**.
**3.** Количество рисунков должно делиться и на $6$, и на $8$, то есть быть кратным числу $24$ (наименьшее общее кратное $6$ и $8$).
Кратные числа $24$: $24, 48, 72, 96, \dots$
В промежуток от $60$ до $80$ попадает только число **$72$**.
**4.** Вычислим значение выражения по действиям, применив распределительное свойство:
$$(26 \cdot 652 - 16 \cdot 652) : 5 + 504 \cdot 4 : 9$$
1. Вынесем общий множитель за скобки: $(26 - 16) \cdot 652 = 10 \cdot 652 = 6520$.
2. Выполним деление: $6520 : 5 = 1304$.
3. Выполним умножение и деление во второй части: $504 \cdot 4 : 9 = 2016 : 9 = 224$.
4. Сложим результаты: $1304 + 224 = 1528$.
---
---
## Проверочная работа № 2
### Ответы
1. Нет, нельзя.
2. $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$.
3. $99$.
4. $705$.
5. Нет, не могло.
6. **а)** Каждое слагаемое делится на $3$, сумма делится на $3$;
**б)** Ни одно из слагаемых не делится на $3$, сумма не делится на $3$.
7. **а)** $0$ или $5$ (числа $3450$ и $3455$);
**б)** $6$ (число $3456$);
**в)** $0$ (число $3450$).
---
### Решение и объяснение
**1.** Число $234$ оканчивается на цифру $4$, следовательно, оно не делится нацело на $5$ ($234 : 5 = 46$, остаток $4$). Рассадить людей поровну **нельзя**.
**2.** Найдём пары множителей, дающие в произведении $60$:
* $1 \cdot 60 = 60$
* $2 \cdot 30 = 60$
* $3 \cdot 20 = 60$
* $4 \cdot 15 = 60$
* $5 \cdot 12 = 60$
* $6 \cdot 10 = 60$
Делители: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$.
**3.** Двузначные числа из одинаковых цифр: $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$.
Сумма цифр должна делиться на $9$. Только у числа $99$ сумма цифр $9 + 9 = 18$ делится на $9$.
**4.** Составим нечётное трёхзначное число из цифр $0, 5, 7$:
* Число делится на $5$ и является нечётным, значит, его последняя цифра — $5$.
* Трёхзначное число не может начинаться с нуля, значит, первая цифра — $7$.
* Оставшаяся цифра $0$ занимает место в середине.
Искомое число: **$705$**.
**5.** Стоимость покупки должна делиться на количество тетрадей ($9$).
Сумма цифр числа $357$: $3 + 5 + 7 = 15$. Число $15$ не делится на $9$, значит, $357$ не делится на $9$. Такая покупка **не могла** быть совершена по натуральной цене.
**6.** Используем признак делимости на $3$ (по сумме цифр):
* **а)** $321 + 459$:
* $321 \rightarrow 3 + 2 + 1 = 6$ (делится на $3$);
* $459 \rightarrow 4 + 5 + 9 = 18$ (делится на $3$).
Так как оба слагаемых делятся на $3$, то и сумма **делится на $3$**.
* **б)** $323 + 4571$:
* $323 \rightarrow 3 + 2 + 3 = 8$ (не делится на $3$, остаток $2$);
* $4571 \rightarrow 4 + 5 + 7 + 1 = 17$ (не делится на $3$, остаток $2$).
Ни одно из слагаемых не делится на $3$. Сумма остатков $2 + 2 = 4$ не делится на $3$, поэтому и сумма **не делится на $3$**.
**7.** Дано число $345*$:
* **а)** Для делимости на $5$ последняя цифра должна быть $0$ или $5$. Подходят цифры **$0$** и **$5$**.
* **б)** Сумма известных цифр: $3 + 4 + 5 = 12$. Ближайшее к $12$ число, кратное $9$ — это $18$. $18 - 12 = 6$. Чтобы число делилось на $9$ (и тем самым на $3$), вместо звёздочки нужно поставить цифру **$6$**.
* **в)** Чтобы число делилось на $10$, его последняя цифра должна быть $0$ (при этом оно сразу делится и на $2$, и на $5$).
Проверим делимость на $3$ числа $3450$: сумма цифр $3 + 4 + 5 + 0 = 12$ делится на $3$. Значит, подходит цифра **$0$**.
ИИ-решебник / Часть 1 / §3 / проверьте себя / стр. 129
