ГДЗ по математике 5 класс Бунимович Базовый уровень упражнение - 322

Проверим утверждение с помощью перебора и с помощью свойств чисел. **1. Перебор чисел** Пусть первая цифра трёхзначного числа равна $a$, средняя цифра — $b$, последняя — $c$. По условию $b = a + c$. Так как $b$ — цифра, сумма $a + c$ не может превышать $9$, при этом первая цифра $a$ не может быть нулём ($a$ от $1$ до $9$). Сгруппируем все такие числа по первой цифре и проверим их деление на 11: * Числа, начинающиеся на $1$ ($c$ от $0$ до $8$): $110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198$ — всего $9$ чисел. Проверим деление, например: $110 : 11 = 10$; $121 : 11 = 11$; $198 : 11 = 18$. Все числа этой группы делятся на $11$. * Числа, начинающиеся на $2$ ($c$ от $0$ до $7$): $220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297$ — всего $8$ чисел. $220 : 11 = 20$; $297 : 11 = 27$. Все числа этой группы делятся на $11$. * Числа, начинающиеся на $3$ ($c$ от $0$ до $6$): $330, 341, 352, 363, 374, 385, 396$ — всего $7$ чисел. $396 : 11 = 36$ — делятся на $11$. * Числа, начинающиеся на $4$ ($c$ от $0$ до $5$): $440, 451, 462, 473, 484, 495$ — всего $6$ чисел. $440 : 11 = 40$ — делятся на $11$. * Числа, начинающиеся на $5$ ($c$ от $0$ до $4$): $550, 561, 572, 583, 594$ — всего $5$ чисел (все делятся на $11$). * Числа, начинающиеся на $6$ ($c$ от $0$ до $3$): $660, 671, 682, 693$ — всего $4$ числа (все делятся на $11$). * Числа, начинающиеся на $7$ ($c$ от $0$ до $2$): $770, 781, 792$ — всего $3$ числа (все делятся на $11$). * Числа, начинающиеся на $8$ ($c$ от $0$ до $1$): $880, 891$ — всего $2$ числа (все делятся на $11$). * Числа, начинающиеся на $9$ ($c = 0$): $990$ — $1$ число ($990 : 11 = 90$). Всего таких чисел: $$ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 $$ Каждое из $45$ чисел делится на $11$ без остатка. **2. Объяснение через разряды числа** Любое трёхзначное число с цифрами $a$, $b$ и $c$ можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: $$ 100 \cdot a + 10 \cdot b + c $$ Так как средняя цифра равна сумме двух крайних ($b = a + c$), подставим эту сумму вместо $b$: $$ 100 \cdot a + 10 \cdot (a + c) + c = 100 \cdot a + 10 \cdot a + 10 \cdot c + c = 110 \cdot a + 11 \cdot c $$ В полученном выражении каждое слагаемое делится на $11$: * $110 \cdot a$ делится на $11$, так как $110 = 11 \cdot 10$; * $11 \cdot c$ делится на $11$. По свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Значит, любое такое трёхзначное число обязательно делится на $11$. Ответ: да, утверждение верно.