ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-3. вариант - 3

1. Вычислите: а) Применяя теорему о корне из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$: $$ \sqrt[3]{\frac{512}{343}} = \frac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{343}} = \frac{\sqrt[3]{8^3}}{\sqrt[3]{7^3}} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} $$ Ответ: $1\frac{1}{7}$. б) Разложим подкоренные числа на простые множители: $75 = 3 \cdot 5^2$, $45 = 3^2 \cdot 5$. Используем свойство корня из произведения: $$ \sqrt[3]{75 \cdot 45} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = 3 \cdot 5 = 15 $$ Ответ: $15$. в) Так как $10 = \sqrt{100} > \sqrt{19}$, оба сомножителя положительны. Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})} = \sqrt[4]{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt[4]{100 - 19} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $$ Ответ: $3$. г) Применим свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ и определение корня нечётной степени $(\sqrt[n]{a})^n = a$: $$ \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{-20}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[5]{-20}\right)^5 = \frac{1}{32} \cdot (-20) = -\frac{20}{32} = -\frac{5}{8} = -0,625 $$ Ответ: $-\frac{5}{8}$ (или $-0,625$). --- 2. Сравните числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt[3]{15}$. Приведём корни к одинаковому показателю. Наименьшим общим кратным показателей корней $2$ и $3$ является число $6$: $$ \sqrt{6} = \sqrt[2 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[6]{216} $$ $$ \sqrt[3]{15} = \sqrt[3 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[6]{225} $$ Так как функция $y = \sqrt[6]{x}$ монотонно возрастает при $x \ge 0$, а $216 < 225$, то: $$ \sqrt[6]{216} < \sqrt[6]{225} $$ Следовательно: $$ \sqrt{6} < \sqrt[3]{15} $$ Ответ: $\sqrt{6} < \sqrt[3]{15}$.