ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-28. вариант - 3

### 1. Вычисление определённых интегралов **а)** $\int_{1}^{3} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx$ Найдём первообразную функции: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} - \left( -\frac{1}{x} \right) = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{3} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1}{1} \right) = \left( 9 + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = 8 $$ Ответ: $8$. --- **б)** $\int_{\frac{\pi}{2}}^{2} 21 \cos \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) dx$ Найдём первообразную функции, используя формулу $\int \cos(kx + b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx + b)$: $$ F(x) = 21 \cdot \frac{1}{3} \sin \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) = 7 \sin \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) $$ Применяем формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{2} 21 \cos \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) dx = \left[ 7 \sin \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{2} = 7 \sin \left( 6 - \frac{\pi}{6} \right) - 7 \sin \left( 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \right) $$ Вычислим значение на нижнем пределе: $$ 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - \pi}{6} = \frac{4\pi}{3} $$ $$ \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Подставим полученное значение: $$ 7 \sin \left( 6 - \frac{\pi}{6} \right) - 7 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 7 \sin \left( 6 - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{7\sqrt{3}}{2} $$ *(Примечание: если в условии опечатка в пределах интегрирования и интеграл имеет вид $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 21 \cos \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) dx$, то он равен $7 \left( \sin\frac{4\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3} \right) = 7 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -7\sqrt{3}$.)* Ответ: $7 \sin \left( 6 - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{7\sqrt{3}}{2}$ (или $-7\sqrt{3}$ при пределах от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{2}$). --- **в)** $\int_{2}^{4} e^{0{,}5x + 3} dx$ Найдём первообразную, используя формулу $\int e^{kx + b} dx = \frac{1}{k}e^{kx + b}$: $$ F(x) = \frac{1}{0{,}5} e^{0{,}5x + 3} = 2 e^{0{,}5x + 3} $$ Применяем формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int_{2}^{4} e^{0{,}5x + 3} dx = \left[ 2 e^{0{,}5x + 3} \right]_{2}^{4} = 2 e^{0{,}5 \cdot 4 + 3} - 2 e^{0{,}5 \cdot 2 + 3} = 2e^5 - 2e^4 = 2e^4(e - 1) $$ *(Примечание: если в показателе степени знак «минус», то есть подынтегральная функция $e^{0{,}5x - 3}$, то значение интеграла равно $2e^{-1} - 2e^{-2} = \frac{2(e - 1)}{e^2}$.)* Ответ: $2e^4(e - 1)$ (или $\frac{2(e - 1)}{e^2}$ при показателе $0{,}5x - 3$). --- **г)** $\int_{1}^{8} (x^3 + 1) dx$ Найдём первообразную: $$ F(x) = \frac{x^4}{4} + x $$ Применяем формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{8} (x^3 + 1) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{1}^{8} = \left( \frac{8^4}{4} + 8 \right) - \left( \frac{1^4}{4} + 1 \right) = (1024 + 8) - 1{,}25 = 1030{,}75 $$ *(Примечание: если подынтегральная функция имеет вид $x^{2/3} + 1$, то интеграл равен $\left[ \frac{3}{5}x^{5/3} + x \right]_{1}^{8} = \left( \frac{3}{5} \cdot 32 + 8 \right) - \left( \frac{3}{5} + 1 \right) = 27{,}2 - 1{,}6 = 25{,}6$.)* Ответ: $1030{,}75$ (или $25{,}6$ при подынтегральной функции $x^{2/3} + 1$). --- ### 2. Вычисление площади фигуры Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $y = e$. 1. Найдём точки пересечения линий в первой четверти ($x > 0$): - Пересечение параболы $y = x^2$ и гиперболы $y = \frac{1}{x}$: $$ x^2 = \frac{1}{x} \implies x^3 = 1 \implies x = 1 \quad (y = 1) $$ - Пересечение гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и прямой $y = e$: $$ \frac{1}{x} = e \implies x = \frac{1}{e} $$ - Пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = e$: $$ x^2 = e \implies x = \sqrt{e} $$ 2. Фигура ограничена сверху прямой $y = e$, а снизу — гиперболой $y = \frac{1}{x}$ на отрезке $\left[ \frac{1}{e}; 1 \right]$ и параболой $y = x^2$ на отрезке $[1; \sqrt{e}]$. Вычислим площадь фигуры как сумму двух определённых интегралов: $$ S = S_1 + S_2 = \int_{\frac{1}{e}}^{1} \left( e - \frac{1}{x} \right) dx + \int_{1}^{\sqrt{e}} (e - x^2) dx $$ Вычислим первое слагаемое: $$ S_1 = \left[ ex - \ln|x| \right]_{\frac{1}{e}}^{1} = (e \cdot 1 - \ln 1) - \left( e \cdot \frac{1}{e} - \ln\frac{1}{e} \right) = e - (1 - (-1)) = e - 2 $$ Вычислим второе слагаемое: $$ S_2 = \left[ ex - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{e}} = \left( e\sqrt{e} - \frac{(\sqrt{e})^3}{3} \right) - \left( e \cdot 1 - \frac{1}{3} \right) = \left( e\sqrt{e} - \frac{e\sqrt{e}}{3} \right) - e + \frac{1}{3} = \frac{2e\sqrt{e}}{3} - e + \frac{1}{3} $$ Сложим полученные площади: $$ S = (e - 2) + \left( \frac{2e\sqrt{e}}{3} - e + \frac{1}{3} \right) = \frac{2e\sqrt{e}}{3} - \frac{5}{3} = \frac{2e\sqrt{e} - 5}{3} $$ Ответ: $\frac{2e\sqrt{e} - 5}{3}$.