ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-28. вариант - 2

### 1. Вычисление определенных интегралов **a)** $\int_{-2}^{1} (-3x^2 - 4x + 2) dx$ Найдем первообразную подынтегральной функции: $$ F(x) = -3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x = -x^3 - 2x^2 + 2x $$ По формуле Ньютона–Лейбница: $$ \int_{-2}^{1} (-3x^2 - 4x + 2) dx = \left[ -x^3 - 2x^2 + 2x \right]_{-2}^{1} $$ $$ = \left( -(1)^3 - 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \right) - \left( -(-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \right) $$ $$ = (-1 - 2 + 2) - (8 - 8 - 4) = -1 - (-4) = 3 $$ **Ответ:** $3$ --- **b)** $\int_{1}^{2} \frac{-2}{(x-3)^2} dx$ Запишем подынтегральное выражение как $-2(x-3)^{-2}$. Найдем первообразную: $$ F(x) = -2 \cdot \frac{(x-3)^{-1}}{-1} = \frac{2}{x-3} $$ По формуле Ньютона–Лейбница: $$ \int_{1}^{2} \frac{-2}{(x-3)^2} dx = \left[ \frac{2}{x-3} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{2-3} - \frac{2}{1-3} = \frac{2}{-1} - \frac{2}{-2} = -2 - (-1) = -1 $$ **Ответ:** $-1$ --- **c)** $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{\sin^2 2x} dx$ Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\sin^2 kx} dx = -\frac{1}{k} \operatorname{ctg} kx$: $$ F(x) = -\frac{1}{2} \operatorname{ctg} 2x $$ По формуле Ньютона–Лейбница: $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{\sin^2 2x} dx = \left[ -\frac{1}{2} \operatorname{ctg} 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} $$ $$ = \left( -\frac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) \right) - \left( -\frac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right) $$ $$ = -\frac{1}{2} \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{2} \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{1}{2} $$ **Ответ:** $-\frac{1}{2}$ --- **d)** $\int_{1}^{16} x^{0{,}25} dx$ Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби: $0{,}25 = \frac{1}{4}$. Найдем первообразную: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} $$ По формуле Ньютона–Лейбница: $$ \int_{1}^{16} x^{0{,}25} dx = \left[ \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} \right]_{1}^{16} = \frac{4}{5} \left( 16^{\frac{5}{4}} - 1^{\frac{5}{4}} \right) $$ Так как $16^{\frac{5}{4}} = \left(2^4\right)^{\frac{5}{4}} = 2^5 = 32$, получаем: $$ \frac{4}{5} (32 - 1) = \frac{4}{5} \cdot 31 = \frac{124}{5} = 24{,}8 $$ **Ответ:** $24{,}8$ --- ### 2. Вычисление площади фигуры Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = -x^2 + 6x - 5$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$. 1. Определим корни уравнения $-x^2 + 6x - 5 = 0$: $$ x^2 - 6x + 5 = 0 \implies (x - 1)(x - 5) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 5 $$ 2. График функции $y = -x^2 + 6x - 5$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. На отрезке $[1; 3]$ функция неотрицательна ($y \ge 0$), следовательно, фигура лежит выше оси абсцисс $y = 0$. 3. Площадь фигуры находится с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx $$ Найдем первообразную: $$ F(x) = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x $$ Применим формулу Ньютона–Лейбница: $$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{3} $$ $$ F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 = -9 + 27 - 15 = 3 $$ $$ F(1) = -\frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3} $$ $$ S = F(3) - F(1) = 3 - \left(-\frac{7}{3}\right) = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $5\frac{1}{3}$