ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-27. вариант - 2

### 1. По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство: $$ F'(x) = f(x) $$ Найдём производную функции $F(x) = 0,3x^{10} + 2x^7 - 4x$: $$ F'(x) = (0,3x^{10} + 2x^7 - 4x)' = 0,3 \cdot 10x^9 + 2 \cdot 7x^6 - 4 = 3x^9 + 14x^6 - 4 $$ Так как $F'(x) = 3x^9 + 14x^6 - 4 = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$. Что и требовалось доказать. --- ### 2. **а)** Запишем функцию $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$ в виде степеней с дробными показателями для $x > 0$: $$ y = x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} $$ Применяя табличную формулу первообразной степенной функции $\int x^p \, dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C$ (где $p \neq -1$), находим: $$ F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = 2\sqrt{x} + \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C $$ Выражение $\sqrt[3]{x^4}$ можно также записать в виде $x\sqrt[3]{x}$: $$ F(x) = 2\sqrt{x} + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C $$ **Ответ:** $F(x) = 2\sqrt{x} + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C$. --- **b)** Функция: $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - e^{3x}$. Используем правила нахождения первообразных: - Для функции $-\sin(kx + b)$ первообразная равна $\frac{1}{k}\cos(kx + b)$, следовательно, для $-\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ получаем $\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$; - Для показательной функции $e^{kx}$ первообразная равна $\frac{1}{k}e^{kx}$, следовательно, для $-e^{3x}$ получаем $-\frac{1}{3}e^{3x}$. Общий вид первообразной: $$ F(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}e^{3x} + C $$ **Ответ:** $F(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}e^{3x} + C$. --- ### 3. Для функции $f(x) = 2x^2 - 2x - 5$ найдём общий вид первообразной: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + C $$ По условию, график искомой первообразной проходит через точку $A(2; -1)$, то есть $F(2) = -1$. Подставим координаты точки $A$ в формулу первообразной: $$ -1 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 - 2^2 - 5 \cdot 2 + C $$ $$ -1 = \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 - 10 + C $$ $$ -1 = \frac{16}{3} - 14 + C $$ $$ -1 = 5\frac{1}{3} - 14 + C $$ $$ -1 = -8\frac{2}{3} + C $$ $$ C = 8\frac{2}{3} - 1 = 7\frac{2}{3} = \frac{23}{3} $$ Подставим найденное значение $C$ в общий вид первообразной: $$ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + 7\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + \frac{23}{3}$.