ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 91

**а)** $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 5 - x^2 = (1 - x)^2 \end{cases} $$ Решим неравенство системы: $1 - x \ge 0 \iff x \le 1$. Преобразуем и решим уравнение: $$ 5 - x^2 = 1 - 2x + x^2 $$ $$ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. С учётом условия $x \le 1$: * $x = 2$ — посторонний корень, так как $2 > 1$; * $x = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \le 1$). Ответ: $-1$. --- **б)** $\sqrt{x + 2} + \sqrt{8 - x} = \sqrt{15}$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 8 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 8 \end{cases} \iff x \in [-2; 8] $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{x + 2} + \sqrt{8 - x})^2 = (\sqrt{15})^2 $$ $$ (x + 2) + 2\sqrt{(x + 2)(8 - x)} + (8 - x) = 15 $$ $$ 10 + 2\sqrt{(x + 2)(8 - x)} = 15 $$ $$ 2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 5 $$ $$ \sqrt{-x^2 + 6x + 16} = \frac{5}{2} $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ -x^2 + 6x + 16 = \frac{25}{4} $$ Умножим обе части на $4$ и перенесём все члены в одну сторону: $$ -4x^2 + 24x + 64 = 25 $$ $$ 4x^2 - 24x - 39 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ \frac{D}{4} = (-12)^2 - 4 \cdot (-39) = 144 + 156 = 300 $$ $$ x = \frac{12 \pm \sqrt{300}}{4} = \frac{12 \pm 10\sqrt{3}}{4} = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2} $$ Проверим принадлежность корней ОДЗ $x \in [-2; 8]$: * Так как $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, то $\frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33$: * $x_1 = 3 + \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}33 \in [-2; 8]$; * $x_2 = 3 - \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx -1{,}33 \in [-2; 8]$. Оба значения принадлежат ОДЗ. Ответ: $\frac{6 - 5\sqrt{3}}{2}$; $\frac{6 + 5\sqrt{3}}{2}$. --- **в)** $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 4x - x^2 \ge 0 \\ 4x - x^2 - 3 \ge 0 \\ 2x - x^2 \ge 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство: 1. $x(4 - x) \ge 0 \iff x \in [0; 4]$. 2. $x^2 - 4x + 3 \le 0 \iff (x - 1)(x - 3) \le 0 \iff x \in [1; 3]$. 3. $x(2 - x) \ge 0 \iff x \in [0; 2]$. Найдём пересечение полученных промежутков: $$ x \in [0; 4] \cap [1; 3] \cap [0; 2] \iff x \in [1; 2] $$ Оценим левую и правую части уравнения на отрезке $[1; 2]$: 1. Для выражения $4x - x^2$: Выделим полный квадрат: $4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2$. При $x \in [1; 2]$ значение $(x - 2)^2 \ge 0$, причём наименьшее значение достигается при $x = 2$ и равно $0$. Следовательно, наибольшее значение выражения $4x - x^2$ на отрезке $[1; 2]$ равно $4$. Тогда для левой части уравнения: $$ \sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} \le \sqrt{4} + \sqrt{4 - 3} = 2 + 1 = 3 $$ 2. Для правой части уравнения: Поскольку $\sqrt{2x - x^2} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ, получаем: $$ 3 + \sqrt{2x - x^2} \ge 3 $$ Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $3$: $$ \begin{cases} \sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 \\ 3 + \sqrt{2x - x^2} = 3 \end{cases} $$ Из второго уравнения: $$ \sqrt{2x - x^2} = 0 \iff 2x - x^2 = 0 \iff x(2 - x) = 0 \iff x = 0 \text{ или } x = 2 $$ С учётом ОДЗ $x \in [1; 2]$ подходит только $x = 2$. Проверим $x = 2$ в первом уравнении: $$ \sqrt{4 \cdot 2 - 2^2} + \sqrt{4 \cdot 2 - 2^2 - 3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3 \quad \text{(верно)} $$ Следовательно, $x = 2$ — единственный корень уравнения. Ответ: $2$.