ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 89

### а) $\sqrt[3]{3x + 20} + \sqrt[3]{5x + 4} = \sqrt[3]{2x + 19} + \sqrt[3]{6x + 5}$ Пусть $u = \sqrt[3]{3x + 20}$, $v = \sqrt[3]{5x + 4}$, $w = \sqrt[3]{2x + 19}$, $z = \sqrt[3]{6x + 5}$. Исходное уравнение принимает вид: $$ u + v = w + z $$ Заметим, что сумма подкоренных выражений в левой и правой частях одинакова: $$ (3x + 20) + (5x + 4) = 8x + 24 $$ $$ (2x + 19) + (6x + 5) = 8x + 24 $$ То есть $u^3 + v^3 = w^3 + z^3$. Воспользуемся формулой куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$: $$ (u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v) $$ $$ (w + z)^3 = w^3 + z^3 + 3wz(w + z) $$ Так как $u + v = w + z$, то и $(u + v)^3 = (w + z)^3$: $$ u^3 + v^3 + 3uv(u + v) = w^3 + z^3 + 3wz(w + z) $$ С учетом $u^3 + v^3 = w^3 + z^3$ и замены $w + z$ на $u + v$ получаем: $$ 3uv(u + v) = 3wz(u + v) $$ $$ 3(u + v)(uv - wz) = 0 $$ Уравнение распадается на два случая: 1. $u + v = 0$ Тогда $u = -v \implies u^3 = -v^3 \implies u^3 + v^3 = 0$: $$ (3x + 20) + (5x + 4) = 0 $$ $$ 8x + 24 = 0 $$ $$ 8x = -24 \implies x_1 = -3 $$ 2. $uv = wz$ Так как $u + v = w + z$ и $uv = wz$, по теореме Виета пары чисел $\{u, v\}$ и $\{w, z\}$ являются корнями одного и того же квадратного уравнения $t^2 - (u + v)t + uv = 0$. Следовательно: - Либо $u = w$ (и $v = z$): $$ u^3 = w^3 \implies 3x + 20 = 2x + 19 \implies x_2 = -1 $$ - Либо $u = z$ (и $v = w$): $$ u^3 = z^3 \implies 3x + 20 = 6x + 5 \implies -3x = -15 \implies x_3 = 5 $$ Проверка показывает, что все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению. **Ответ:** $-3$; $-1$; $5$. --- ### б) $\sqrt[3]{x + 6} + \sqrt[3]{7x + 10} = \sqrt[3]{2x + 15} + \sqrt[3]{6x + 1}$ Пусть $u = \sqrt[3]{x + 6}$, $v = \sqrt[3]{7x + 10}$, $w = \sqrt[3]{2x + 15}$, $z = \sqrt[3]{6x + 1}$. Проверим суммы подкоренных выражений: $$ (x + 6) + (7x + 10) = 8x + 16 $$ $$ (2x + 15) + (6x + 1) = 8x + 16 $$ Так как $u + v = w + z$ и $u^3 + v^3 = w^3 + z^3$, аналогично пункту **а)** получаем: $$ (u + v)(uv - wz) = 0 $$ 1. $u + v = 0 \implies u^3 + v^3 = 0$: $$ 8x + 16 = 0 \implies x_1 = -2 $$ 2. $uv = wz \implies$ либо $u = w$, либо $u = z$: - $u^3 = w^3$: $$ x + 6 = 2x + 15 \implies -x = 9 \implies x_2 = -9 $$ - $u^3 = z^3$: $$ x + 6 = 6x + 1 \implies -5x = -5 \implies x_3 = 1 $$ **Ответ:** $-9$; $-2$; $1$. --- ### в) $\sqrt[3]{2x + 5} + \sqrt[3]{5x + 16} = \sqrt[3]{x + 8} + \sqrt[3]{6x + 13}$ Пусть $u = \sqrt[3]{2x + 5}$, $v = \sqrt[3]{5x + 16}$, $w = \sqrt[3]{x + 8}$, $z = \sqrt[3]{6x + 13}$. Суммы подкоренных выражений: $$ (2x + 5) + (5x + 16) = 7x + 21 $$ $$ (x + 8) + (6x + 13) = 7x + 21 $$ Условия $u + v = w + z$ и $u^3 + v^3 = w^3 + z^3$ приводят к уравнению: $$ (u + v)(uv - wz) = 0 $$ 1. $u + v = 0 \implies u^3 + v^3 = 0$: $$ 7x + 21 = 0 \implies x_1 = -3 $$ 2. $uv = wz \implies$ либо $u = w$, либо $u = z$: - $u^3 = w^3$: $$ 2x + 5 = x + 8 \implies x_2 = 3 $$ - $u^3 = z^3$: $$ 2x + 5 = 6x + 13 \implies -4x = 8 \implies x_3 = -2 $$ **Ответ:** $-3$; $-2$; $3$. --- ### г) $\sqrt[3]{4x + 6} + \sqrt[3]{5x + 12} = \sqrt[3]{3x + 10} + \sqrt[3]{6x + 8}$ Пусть $u = \sqrt[3]{4x + 6}$, $v = \sqrt[3]{5x + 12}$, $w = \sqrt[3]{3x + 10}$, $z = \sqrt[3]{6x + 8}$. Суммы подкоренных выражений: $$ (4x + 6) + (5x + 12) = 9x + 18 $$ $$ (3x + 10) + (6x + 8) = 9x + 18 $$ Так как $u + v = w + z$ и $u^3 + v^3 = w^3 + z^3$, уравнение сводится к: $$ (u + v)(uv - wz) = 0 $$ 1. $u + v = 0 \implies u^3 + v^3 = 0$: $$ 9x + 18 = 0 \implies x_1 = -2 $$ 2. $uv = wz \implies$ либо $u = w$, либо $u = z$: - $u^3 = w^3$: $$ 4x + 6 = 3x + 10 \implies x_2 = 4 $$ - $u^3 = z^3$: $$ 4x + 6 = 6x + 8 \implies -2x = 2 \implies x_3 = -1 $$ **Ответ:** $-2$; $-1$; $4$.