ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 73

**а)** Решим неравенство: $$ \sqrt[5]{x+2}+\pi^{x+2}>\sqrt[5]{\frac{x-1}{2x}}+\pi^{\frac{x-1}{2x}} $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренные выражения корней нечетной (пятой) степени и показатели степени определены при любых действительных значениях, однако знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ 2x \neq 0 \implies x \neq 0 $$ Значит, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. **Использование свойств функций:** Рассмотрим функцию: $$ f(t) = \sqrt[5]{t} + \pi^t, \quad t \in \mathbb{R} $$ - Функция $y = \sqrt[5]{t}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. - Показательная функция $y = \pi^t$ также является строго возрастающей на $\mathbb{R}$, поскольку её основание $\pi > 1$. Сумма двух строго возрастающих функций $f(t) = \sqrt[5]{t} + \pi^t$ является строго возрастающей функцией на $\mathbb{R}$. Исходное неравенство имеет вид $f(x+2) > f\left(\frac{x-1}{2x}\right)$. В силу строгого возрастания функции $f(t)$ неравенство $f(t_1) > f(t_2)$ равносильно неравенству $t_1 > t_2$: $$ x+2 > \frac{x-1}{2x} $$ 3. **Решение рационального неравенства:** $$ x+2 - \frac{x-1}{2x} > 0 $$ $$ \frac{2x(x+2) - (x-1)}{2x} > 0 $$ $$ \frac{2x^2 + 4x - x + 1}{2x} > 0 $$ $$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{2x} > 0 $$ Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители. Найдем его корни: $$ 2x^2 + 3x + 1 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2} $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \frac{2(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{2x} > 0 \iff \frac{(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{x} > 0 $$ Применим метод интервалов. Нанесем нули числителя и знаменателя на числовую прямую: $-1$, $-\frac{1}{2}$, $0$ (все точки выколотые). Определим знаки выражения на получившихся интервалах: - при $x \in (0; +\infty)$: знак $+$ - при $x \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right)$: знак $-$ - при $x \in \left(-1; -\frac{1}{2}\right)$: знак $+$ - при $x \in (-\infty; -1)$: знак $-$ Выбираем интервалы со знаком $+$: $$ x \in \left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup (0; +\infty) $$ Все найденные значения входят в ОДЗ ($x \neq 0$). **Ответ к пункту а:** $\left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup (0; +\infty)$ --- **б)** Решим неравенство: $$ (\pi-3)^{x-5}-\sqrt[3]{x-5}>(\pi-3)^{\frac{x-9}{2x}}-\sqrt[3]{\frac{x-9}{2x}} $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ 2x \neq 0 \implies x \neq 0 $$ Значит, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. **Использование свойств функций:** Рассмотрим функцию: $$ g(t) = (\pi-3)^t - \sqrt[3]{t}, \quad t \in \mathbb{R} $$ - Так как $\pi \approx 3{,}14$, основание показательной функции удовлетворяет условию $0 < \pi - 3 < 1$. Следовательно, показательная функция $y = (\pi-3)^t$ строго убывает на $\mathbb{R}$. - Функция $y = \sqrt[3]{t}$ строго возрастает на $\mathbb{R}$, следовательно, функция $y = -\sqrt[3]{t}$ строго убывает на $\mathbb{R}$. Сумма двух строго убывающих функций $g(t) = (\pi-3)^t + (-\sqrt[3]{t})$ является строго убывающей функцией на $\mathbb{R}$. Исходное неравенство имеет вид $g(x-5) > g\left(\frac{x-9}{2x}\right)$. Так как функция $g(t)$ строго убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, то есть $g(t_1) > g(t_2) \iff t_1 < t_2$: $$ x-5 < \frac{x-9}{2x} $$ 3. **Решение рационального неравенства:** $$ x-5 - \frac{x-9}{2x} < 0 $$ $$ \frac{2x(x-5) - (x-9)}{2x} < 0 $$ $$ \frac{2x^2 - 10x - x + 9}{2x} < 0 $$ $$ \frac{2x^2 - 11x + 9}{2x} < 0 $$ Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители. Найдем его корни: $$ 2x^2 - 11x + 9 = 0 $$ $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{2(x-1)\left(x-\frac{9}{2}\right)}{2x} < 0 \iff \frac{(x-1)\left(x-\frac{9}{2}\right)}{x} < 0 $$ Применим метод интервалов. Нанесем нули числителя и знаменателя на числовую прямую: $0$, $1$, $\frac{9}{2}$ (все точки выколотые). Определим знаки выражения на интервалах: - при $x \in \left(\frac{9}{2}; +\infty\right)$: знак $+$ - при $x \in \left(1; \frac{9}{2}\right)$: знак $-$ - при $x \in (0; 1)$: знак $+$ - при $x \in (-\infty; 0)$: знак $-$ Выбираем интервалы со знаком $-$: $$ x \in (-\infty; 0) \cup \left(1; \frac{9}{2}\right) $$ Все найденные значения входят в ОДЗ ($x \neq 0$). **Ответ к пункту б:** $(-\infty; 0) \cup (1; 4{,}5)$