ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 72

**а)** Решим неравенство: $$ \sqrt{\log_{2}{\frac{x-1}{x}}}+\lg\left(\log_{2}{\frac{x-1}{x}}\right)<\sqrt{\log_{2}{\frac{1}{x}}}+\lg\left(\log_{2}{\frac{1}{x}}\right) $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Для существования квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а для десятичного логарифма — строго положительным. Следовательно, аргументы внешних функций должны быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} \log_{2}{\dfrac{x-1}{x}} > 0, \\ \log_{2}{\dfrac{1}{x}} > 0. \end{cases} $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, перейдем к подлогарифмическим выражениям: $$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x} > 1, \\ \dfrac{1}{x} > 1. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{x-1}{x} - 1 > 0 \iff \frac{x-1-x}{x} > 0 \iff -\frac{1}{x} > 0 \iff x < 0. $$ Решим второе неравенство: $$ \frac{1}{x} - 1 > 0 \iff \frac{1-x}{x} > 0 \iff \frac{x-1}{x} < 0 \iff 0 < x < 1. $$ Объединим полученные условия в систему: $$ \begin{cases} x < 0, \\ 0 < x < 1. \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как промежутки $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$ не пересекаются. Следовательно, ОДЗ исходного неравенства является пустым множеством, и неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет. --- **б)** Решим неравенство: $$ \sqrt{\log_{3}{\frac{3}{x}}}+\log_{3}7\cdot\log_{7}{\frac{3}{x}}>\sqrt{\log_{3}{\frac{5-2x}{x}}}+\log_{3}7\cdot\log_{7}{\frac{5-2x}{x}} $$ Используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a}b \cdot \log_{b}c = \log_{a}c$, упростим произведения: $$ \log_{3}7 \cdot \log_{7}{\frac{3}{x}} = \log_{3}{\frac{3}{x}}, $$ $$ \log_{3}7 \cdot \log_{7}{\frac{5-2x}{x}} = \log_{3}{\frac{5-2x}{x}}. $$ Неравенство принимает вид: $$ \sqrt{\log_{3}{\frac{3}{x}}} + \log_{3}{\frac{3}{x}} > \sqrt{\log_{3}{\frac{5-2x}{x}}} + \log_{3}{\frac{5-2x}{x}}. $$ Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t} + t$, определенную при $t \ge 0$. Функции $y = \sqrt{t}$ и $y = t$ строго возрастают на луче $[0; +\infty)$, следовательно, их сумма $f(t)$ также является строго возрастающей функцией на $[0; +\infty)$. Пусть $u = \log_{3}{\dfrac{3}{x}}$ и $v = \log_{3}{\dfrac{5-2x}{x}}$. Неравенство $f(u) > f(v)$ в силу строгого возрастания функции $f(t)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} v \ge 0, \\ u > v. \end{cases} $$ Подставим выражения для $u$ и $v$: $$ \begin{cases} \log_{3}{\dfrac{5-2x}{x}} \ge 0, \\ \log_{3}{\dfrac{3}{x}} > \log_{3}{\dfrac{5-2x}{x}}. \end{cases} $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} \dfrac{5-2x}{x} \ge 1, \\ \dfrac{3}{x} > \dfrac{5-2x}{x}. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{5-2x}{x} - 1 \ge 0 \iff \frac{5-3x}{x} \ge 0 \iff \frac{3x-5}{x} \le 0 \iff x \in \left(0; \frac{5}{3}\right]. $$ Решим второе неравенство: $$ \frac{3-(5-2x)}{x} > 0 \iff \frac{2x-2}{x} > 0 \iff \frac{x-1}{x} > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty). $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in \left(0; \dfrac{5}{3}\right], \\ x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \end{cases} \iff x \in \left(1; \frac{5}{3}\right]. $$ Ответ: $\left(1; \dfrac{5}{3}\right]$. --- **в)** Решим неравенство: $$ \sqrt[4]{3x-2}+\log_{7}(3x-2)+3^{\frac{3x-2}{4}}>\sqrt[4]{-2x+3}+\log_{7}(-2x+3)+3^{\frac{-2x+3}{4}} $$ Рассмотрим функцию: $$ f(t) = \sqrt[4]{t} + \log_{7}t + 3^{\frac{t}{4}}. $$ Область определения функции $f(t)$ задается условием $t > 0$ (так как подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным). Функции $y = \sqrt[4]{t}$, $y = \log_{7}t$ и $y = 3^{\frac{t}{4}} = (\sqrt[4]{3})^t$ (где основание $\sqrt[4]{3} > 1$) являются строго возрастающими на промежутке $(0; +\infty)$. Значит, их сумма $f(t)$ также строго возрастает при $t > 0$. Пусть $u = 3x - 2$ и $v = -2x + 3$. Исходное неравенство имеет вид $f(u) > f(v)$, что в силу строгого возрастания $f(t)$ на $(0; +\infty)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} v > 0, \\ u > v. \end{cases} $$ Подставим выражения: $$ \begin{cases} -2x + 3 > 0, \\ 3x - 2 > -2x + 3. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство: $$ \begin{cases} 2x < 3, \\ 5x > 5 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 1{,}5, \\ x > 1. \end{cases} $$ При $x \in (1; 1{,}5)$ условие $u > 0$ выполняется автоматически, так как $u > v > 0$. Таким образом, получаем интервал $x \in (1; 1{,}5)$. Ответ: $(1; 1{,}5)$.