ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 10 - 3

а) Уравнение $\frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$ определено при $g(x) \neq 0$. При умножении обеих частей уравнения на ненулевое выражение $g(x)$ получаем равносильное уравнение $f(x) = g(x)\varphi(x)$. Множество $M$ задаётся условием: $$ g(x) \neq 0 $$ б) При возведении обеих частей уравнения в чётную степень получается равносильное уравнение тогда и только тогда, когда обе части уравнения неотрицательны. Так как арифметический квадратный корень $\sqrt{f(x)} \ge 0$, правая часть также должна быть неотрицательной: $\varphi(x) \ge 0$. При выполнении этого условия равенство $f(x) = \varphi^2(x)$ гарантирует, что $f(x) \ge 0$. Множество $M$ задаётся условием: $$ \varphi(x) \ge 0 $$ в) Произведение корней равно корню из произведения $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x)g(x)}$ тогда и только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$ г) Частное корней равно корню из частного $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ при условии, что подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а в знаменателе — строго положительно. Множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ д) При вычитании из обеих частей первого уравнения слагаемого $\sqrt{g(x)}$ получаем уравнение $f(x) = \varphi(x)$. Данное преобразование сохраняет равносильность на множестве, где выражение $\sqrt{g(x)}$ имеет смысл, то есть при $g(x) \ge 0$. Множество $M$ задаётся условием: $$ g(x) \ge 0 $$ е) По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{(f(x))^2} = |f(x)|$. Равенство $|f(x)| = f(x)$ верно тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$. Множество $M$ задаётся условием: $$ f(x) \ge 0 $$ ж) Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента. Уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ имеет смысл при $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. На этом множестве в силу строгой монотонности логарифмической функции оно равносильно уравнению $f(x) = g(x)$. Множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ *(так как на множестве корней $f(x) = g(x)$, достаточно выполнения хотя бы одного из неравенств: $f(x) > 0$ или $g(x) > 0$)*. з) Сумма логарифмов равна логарифму произведения $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a (f(x)g(x))$ тогда и только тогда, когда оба выражения под знаками исходных логарифмов строго положительны. Множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ и) Разность логарифмов равна логарифму частного $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \log_a \frac{f(x)}{g(x)}$ тогда и только тогда, когда выражения под знаками обоих логарифмов строго положительны. Множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ к) Формула перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \log_a f(x)$ справедлива, когда основание $f(x)$ удовлетворяет условиям существования логарифма: $f(x) > 0$ и $f(x) \neq 1$. Множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ f(x) \neq 1 \end{cases} $$ л) Тождество $\log_a (f(x))^2 = 2\log_a |f(x)|$ справедливо для всех значений $f(x)$, при которых выражение под знаком логарифма отлично от нуля, то есть $(f(x))^2 > 0 \iff f(x) \neq 0$. Множество $M$ задаётся условием: $$ f(x) \neq 0 $$ м) Выражение $2\log_a f(x)$ определено только при $f(x) > 0$, тогда как выражение $\log_a (f(x))^2$ определено при всех $f(x) \neq 0$. Поэтому уравнения равносильны на множестве, где определены оба выражения. Множество $M$ задаётся условием: $$ f(x) > 0 $$ н) Основное логарифмическое тождество $a^{\log_a f(x)} = f(x)$ выполняется тогда и только тогда, когда определена левая часть, то есть при положительном аргументе логарифма. Множество $M$ задаётся условием: $$ f(x) > 0 $$ о) Тригонометрическое тождество $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \cos 2x$ справедливо при всех $x$, для которых определён $\operatorname{tg} x$. Тангенс определён, если косинус не равен нулю: $\cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Знаменатель $1 + \operatorname{tg}^2 x \ge 1$ в нуль не обращается. Множество $M$ задаётся условием: $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ п) Формула тангенса двойного угла $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \operatorname{tg} 2x$ применима, если: 1. Определён $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. 2. Знаменатель дроби не равен нулю: $1 - \operatorname{tg}^2 x \neq 0 \iff \operatorname{tg} x \neq \pm 1 \iff x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. 3. Определён $\operatorname{tg} 2x$: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \iff x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. Объединяя эти ограничения, получаем, что множество $M$ задаётся условиями: $$ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \\ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$