ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 69

а) Докажем равносильность неравенств $\operatorname{arctg} f(x) > \operatorname{arctg} g(x)$ и $f(x) > g(x)$. 1. Областью определения функции $y = \operatorname{arctg} t$ является всё множество действительных чисел: $D(y) = \mathbb{R}$. Поэтому оба неравенства имеют одну и ту же область допустимых значений переменной $x$, определяемую общей частью областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$: $$ D = D(f) \cap D(g) $$ 2. Функция $y = \operatorname{arctg} t$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. По определению строго возрастающей функции для любых действительных чисел $t_1$ и $t_2$ выполняется условие: $$ \operatorname{arctg} t_1 > \operatorname{arctg} t_2 \iff t_1 > t_2 $$ 3. Пусть $x \in D$. Положим $t_1 = f(x)$ и $t_2 = g(x)$. Тогда: $$ \operatorname{arctg} f(x) > \operatorname{arctg} g(x) \iff f(x) > g(x) $$ Это означает, что любое значение $x$, являющееся решением первого неравенства, является решением второго неравенства, и наоборот. Следовательно, неравенства $\operatorname{arctg} f(x) > \operatorname{arctg} g(x)$ и $f(x) > g(x)$ равносильны. б) Докажем равносильность неравенств $\operatorname{arcctg} f(x) > \operatorname{arcctg} g(x)$ и $f(x) < g(x)$. 1. Областью определения функции $y = \operatorname{arcctg} t$ является вся числовая прямая: $D(y) = \mathbb{R}$. Следовательно, оба неравенства рассматриваются на одном и том же множестве: $$ D = D(f) \cap D(g) $$ 2. Функция $y = \operatorname{arcctg} t$ является строго убывающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. По определению строго убывающей функции для любых действительных чисел $t_1$ и $t_2$ большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, то есть: $$ \operatorname{arcctg} t_1 > \operatorname{arcctg} t_2 \iff t_1 < t_2 $$ 3. Пусть $x \in D$. Положим $t_1 = f(x)$ и $t_2 = g(x)$. Тогда: $$ \operatorname{arcctg} f(x) > \operatorname{arcctg} g(x) \iff f(x) < g(x) $$ Это означает, что множества решений обоих неравенств совпадают. Следовательно, неравенства $\operatorname{arcctg} f(x) > \operatorname{arcctg} g(x)$ и $f(x) < g(x)$ равносильны.