ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 65

Решим исходное иррациональное неравенство: $$ \sqrt{x - 2a} > \sqrt{4 - x} $$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведение в квадрат является равносильным преобразованием при условии неотрицательности подкоренного выражения меньшей части (условие $x - 2a \ge 0$ выполнится автоматически, поскольку $x - 2a > 4 - x \ge 0$): $$ \begin{cases} x - 2a > 4 - x \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $$ Решим полученную систему: $$ \begin{cases} 2x > 2a + 4 \\ x \le 4 \end{cases} \iff \begin{cases} x > a + 2 \\ x \le 4 \end{cases} $$ Исследуем множество решений в зависимости от значений параметра $a$: 1. Если $a + 2 \ge 4$ (то есть $a \ge 2$), то система, а значит, и исходное неравенство, не имеет решений. 2. Если $a + 2 < 4$ (то есть $a < 2$), то множеством решений неравенства является полуинтервал: $$ x \in (a + 2; 4] $$ По условию задачи требуется, чтобы все решения неравенства содержались в интервале $(0; 5)$, то есть должно выполняться включение: $$ (a + 2; 4] \subset (0; 5) $$ Для этого необходимо и достаточно выполнения условий: - решения существуют: $a + 2 < 4$; - левая граница множества решений не меньше левой границы интервала: $a + 2 \ge 0$; - правая граница множества решений строго меньше правой границы интервала: $4 < 5$ (неравенство верно при любых $a$). Составим и решим систему неравенств для параметра $a$: $$ \begin{cases} a + 2 < 4 \\ a + 2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a < 2 \\ a \ge -2 \end{cases} \iff -2 \le a < 2 $$ Таким образом, все решения неравенства содержатся в интервале $(0; 5)$ при $a \in [-2; 2)$. Ответ: $[-2; 2)$