ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 63

### a) $\log_{2|x|}(x^2 - 10x + 21) \leq \log_{2|x|} 5$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2|x| > 0 \\ 2|x| \neq 1 \\ x^2 - 10x + 21 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0 \\ |x| \neq \dfrac{1}{2} \\ (x - 3)(x - 7) > 0 \end{cases} $$ Отсюда: $x \neq 0$, $x \neq \pm \dfrac{1}{2}$ и $x \in (-\infty; 3) \cup (7; +\infty)$. 2. Применим метод рационализации для неравенства вида $\log_a f(x) \leq \log_a g(x)$: $$ (a - 1)(f(x) - g(x)) \leq 0 $$ В нашем случае $a = 2|x|$, $f(x) = x^2 - 10x + 21$, $g(x) = 5$: $$ (2|x| - 1)(x^2 - 10x + 21 - 5) \leq 0 $$ $$ (2|x| - 1)(x^2 - 10x + 16) \leq 0 $$ $$ (2|x| - 1)(x - 2)(x - 8) \leq 0 $$ 3. Рассмотрим два случая в зависимости от знака множителя $(2|x| - 1)$: **Случай 1:** $2|x| - 1 > 0 \iff |x| > \dfrac{1}{2} \iff x \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$. Тогда неравенство принимает вид: $$ (x - 2)(x - 8) \leq 0 \iff x \in [2; 8] $$ С учетом условия $|x| > \dfrac{1}{2}$ получаем $x \in [2; 8]$. Пересечем с ОДЗ: $$ [2; 8] \cap \bigl((-\infty; 3) \cup (7; +\infty)\bigr) = [2; 3) \cup (7; 8] $$ **Случай 2:** $2|x| - 1 < 0 \iff 0 < |x| < \dfrac{1}{2} \iff x \in \left(-\dfrac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$. Тогда неравенство принимает вид: $$ (x - 2)(x - 8) \geq 0 \iff x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty) $$ Интервалы $\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$ целиком лежат в $(-\infty; 2]$ и входят в ОДЗ, так как они содержатся в промежутке $(-\infty; 3)$. Значит, все эти значения являются решениями. Объединяя результаты обоих случаев, получаем: $$ x \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right) \cup [2; 3) \cup (7; 8] $$ **Ответ:** $\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right) \cup [2; 3) \cup (7; 8]$. --- ### b) $\log_{2|x|}(x^2 - 13x + 36) \leq \log_{2|x|} 6$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 2|x| > 0 \\ 2|x| \neq 1 \\ x^2 - 13x + 36 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0 \\ |x| \neq \dfrac{1}{2} \\ (x - 4)(x - 9) > 0 \end{cases} $$ Отсюда: $x \neq 0$, $x \neq \pm \dfrac{1}{2}$ и $x \in (-\infty; 4) \cup (9; +\infty)$. 2. Применим метод рационализации: $$ (2|x| - 1)(x^2 - 13x + 36 - 6) \leq 0 $$ $$ (2|x| - 1)(x^2 - 13x + 30) \leq 0 $$ $$ (2|x| - 1)(x - 3)(x - 10) \leq 0 $$ 3. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $2|x| - 1 > 0 \iff |x| > \dfrac{1}{2}$. $$ (x - 3)(x - 10) \leq 0 \iff x \in [3; 10] $$ Пересекая с условием $|x| > \dfrac{1}{2}$ и ОДЗ $x \in (-\infty; 4) \cup (9; +\infty)$: $$ [3; 10] \cap \bigl((-\infty; 4) \cup (9; +\infty)\bigr) = [3; 4) \cup (9; 10] $$ **Случай 2:** $2|x| - 1 < 0 \iff 0 < |x| < \dfrac{1}{2} \iff x \in \left(-\dfrac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$. $$ (x - 3)(x - 10) \geq 0 \iff x \in (-\infty; 3] \cup [10; +\infty) $$ Интервалы $\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$ полностью содержатся в $(-\infty; 3]$ и входят в ОДЗ. Объединяя решения обоих случаев: $$ x \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right) \cup [3; 4) \cup (9; 10] $$ **Ответ:** $\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right) \cup [3; 4) \cup (9; 10]$. --- ### c) $\log_{|x|}(x^2 + 25) \leq 2 + \log_{|x|} 226$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} |x| > 0 \\ |x| \neq 1 \\ x^2 + 25 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end{cases} $$ 2. Представим число $2$ как $\log_{|x|}(|x|^2) = \log_{|x|} x^2$: $$ 2 + \log_{|x|} 226 = \log_{|x|} x^2 + \log_{|x|} 226 = \log_{|x|}(226x^2) $$ Исходное неравенство примет вид: $$ \log_{|x|}(x^2 + 25) \leq \log_{|x|}(226x^2) $$ 3. Применим метод рационализации: $$ (|x| - 1)(x^2 + 25 - 226x^2) \leq 0 $$ $$ (|x| - 1)(25 - 225x^2) \leq 0 $$ Разделим обе части на $25$: $$ (|x| - 1)(1 - 9x^2) \leq 0 $$ Так как $x^2 = |x|^2$, положим $t = |x|$, где $t > 0$ и $t \neq 1$: $$ (t - 1)(1 - 9t^2) \leq 0 $$ $$ (t - 1)(1 - 3t)(1 + 3t) \leq 0 $$ Так как $t > 0$, множитель $1 + 3t > 0$: $$ (t - 1)(1 - 3t) \leq 0 \iff (t - 1)(3t - 1) \geq 0 $$ Корни левой части: $t = \dfrac{1}{3}$, $t = 1$. Решение относительно $t$: $$ t \in \left(0; \frac{1}{3}\right] \cup (1; +\infty) $$ (значение $t = 1$ исключено по ОДЗ). 4. Возвращаясь к переменной $x$ ($|x| = t$): - $0 < |x| \leq \dfrac{1}{3} \iff x \in \left[-\dfrac{1}{3}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{3}\right]$; - $|x| > 1 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. **Ответ:** $(-\infty; -1) \cup \left[-\dfrac{1}{3}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{3}\right] \cup (1; +\infty)$. --- ### d) $\log_{|x|}(x^2 + 361) \leq 2 + \log_{|x|} 362$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} |x| > 0 \\ |x| \neq 1 \\ x^2 + 361 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end{cases} $$ 2. Преобразуем правую часть неравенства: $$ 2 + \log_{|x|} 362 = \log_{|x|} x^2 + \log_{|x|} 362 = \log_{|x|}(362x^2) $$ Неравенство запишется как: $$ \log_{|x|}(x^2 + 361) \leq \log_{|x|}(362x^2) $$ 3. Применим метод рационализации: $$ (|x| - 1)(x^2 + 361 - 362x^2) \leq 0 $$ $$ (|x| - 1)(361 - 361x^2) \leq 0 $$ Разделим обе части на $361$: $$ (|x| - 1)(1 - x^2) \leq 0 $$ Учитывая, что $1 - x^2 = 1 - |x|^2 = (1 - |x|)(1 + |x|) = -(|x| - 1)(|x| + 1)$: $$ -(|x| - 1)^2 (|x| + 1) \leq 0 \iff (|x| - 1)^2 (|x| + 1) \geq 0 $$ 4. Так как $|x| + 1 > 0$ при всех $x$, а квадрат выражения $(|x| - 1)^2 \geq 0$ при любых действительных $x$, данное неравенство выполняется тождественно для всех допустимых значений переменной. Следовательно, решением неравенства является вся область допустимых значений: $$ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.