ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 64

**а)** Решим неравенство: $$ \log_{x}\frac{8x-7}{8x+13}\geq\log_{x}\frac{14x-9}{8x+13} $$ По определению логарифма основание удовлетворяет условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$. Так как $x > 0$, знаменатель $8x + 13 > 0$, поэтому знаки подлогарифмических дробей определяются знаками их числителей. Рассмотрим два случая в зависимости от основания $x$: 1) Если $x > 1$, то логарифмическая функция с основанием $x$ возрастает: $$ \begin{cases} x > 1 \\ \dfrac{8x-7}{8x+13} \ge \dfrac{14x-9}{8x+13} \\ \dfrac{14x-9}{8x+13} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ 8x - 7 \ge 14x - 9 \\ 14x - 9 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ 6x \le 2 \\ x > \dfrac{9}{14} \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x \le \dfrac{1}{3} \\ x > \dfrac{9}{14} \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как промежутки $x > 1$ и $x \le \frac{1}{3}$ не пересекаются. 2) Если $0 < x < 1$, то логарифмическая функция с основанием $x$ убывает: $$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ \dfrac{8x-7}{8x+13} \le \dfrac{14x-9}{8x+13} \\ \dfrac{8x-7}{8x+13} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 8x - 7 \le 14x - 9 \\ 8x - 7 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 6x \ge 2 \\ x > \dfrac{7}{8} \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x \ge \dfrac{1}{3} \\ x > \dfrac{7}{8} \end{cases} $$ Пересекая полученные неравенства, находим: $$ \frac{7}{8} < x < 1 $$ Ответ: $\left(\dfrac{7}{8}; 1\right)$. --- **б)** Решим неравенство: $$ \log_{x}\frac{9x-8}{9x+14}\geq\log_{x}\frac{17x-10}{9x+14} $$ Ограничения на основание: $x > 0$, $x \neq 1$. Так как $x > 0$, то знаменатель $9x + 14 > 0$. Рассмотрим два случая: 1) При $x > 1$ знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x > 1 \\ 9x - 8 \ge 17x - 10 \\ 17x - 10 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ 8x \le 2 \\ x > \dfrac{10}{17} \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x \le \dfrac{1}{4} \\ x > \dfrac{10}{17} \end{cases} $$ Система решений не имеет, так как условия $x > 1$ и $x \le \frac{1}{4}$ несовместны. 2) При $0 < x < 1$ знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 9x - 8 \le 17x - 10 \\ 9x - 8 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 8x \ge 2 \\ x > \dfrac{8}{9} \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x \ge \dfrac{1}{4} \\ x > \dfrac{8}{9} \end{cases} $$ Пересечением всех условий является интервал: $$ \frac{8}{9} < x < 1 $$ Ответ: $\left(\dfrac{8}{9}; 1\right)$. --- **в)** Решим неравенство: $$ \log_{x}\frac{10x-9}{6x+11}\geq\log_{x}\frac{20x-11}{6x+11} $$ Ограничения на основание: $x > 0$, $x \neq 1$. При $x > 0$ знаменатель $6x + 11 > 0$. 1) Случай $x > 1$: $$ \begin{cases} x > 1 \\ 10x - 9 \ge 20x - 11 \\ 20x - 11 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ 10x \le 2 \\ x > \dfrac{11}{20} \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x \le \dfrac{1}{5} \\ x > \dfrac{11}{20} \end{cases} $$ Решений нет, так как $x > 1$ и $x \le \frac{1}{5}$ не пересекаются. 2) Случай $0 < x < 1$: $$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 10x - 9 \le 20x - 11 \\ 10x - 9 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 10x \ge 2 \\ x > \dfrac{9}{10} \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x \ge \dfrac{1}{5} \\ x > \dfrac{9}{10} \end{cases} $$ Пересекая условия, получаем: $$ \frac{9}{10} < x < 1 $$ Ответ: $\left(\dfrac{9}{10}; 1\right)$. --- **г)** Решим неравенство: $$ \log_{x}\frac{11x-10}{5x+12}\geq\log_{x}\frac{17x-12}{5x+12} $$ Ограничения на основание: $x > 0$, $x \neq 1$. При $x > 0$ знаменатель $5x + 12 > 0$. 1) Случай $x > 1$: $$ \begin{cases} x > 1 \\ 11x - 10 \ge 17x - 12 \\ 17x - 12 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ 6x \le 2 \\ x > \dfrac{12}{17} \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x \le \dfrac{1}{3} \\ x > \dfrac{12}{17} \end{cases} $$ Решений нет. 2) Случай $0 < x < 1$: $$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 11x - 10 \le 17x - 12 \\ 11x - 10 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ 6x \ge 2 \\ x > \dfrac{10}{11} \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x \ge \dfrac{1}{3} \\ x > \dfrac{10}{11} \end{cases} $$ Пересекая условия, получаем: $$ \frac{10}{11} < x < 1 $$ Ответ: $\left(\dfrac{10}{11}; 1\right)$.