ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 45

а) $\sqrt{2x-1} > x-2$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x - 2 < 0, \\ 2x - 1 \ge 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x - 1 > (x - 2)^2. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < 2, \\ 2x \ge 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 2, \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases} \iff x \in \left[\frac{1}{2}; 2\right). $$ Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \ge 2, \\ 2x - 1 > x^2 - 4x + 4 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 - 6x + 5 < 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$: по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 < 0$ является интервал $(1; 5)$. Пересечем его с условием $x \ge 2$: $$ \begin{cases} x \ge 2, \\ 1 < x < 5 \end{cases} \iff x \in [2; 5). $$ Объединим решения обеих систем: $$ \left[\frac{1}{2}; 2\right) \cup [2; 5) = \left[\frac{1}{2}; 5\right). $$ Ответ: $\left[\frac{1}{2}; 5\right)$. б) $\sqrt{2x+1} > x-1$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x - 1 < 0, \\ 2x + 1 \ge 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ 2x + 1 > (x - 1)^2. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < 1, \\ 2x \ge -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 1, \\ x \ge -\frac{1}{2} \end{cases} \iff x \in \left[-\frac{1}{2}; 1\right). $$ Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \ge 1, \\ 2x + 1 > x^2 - 2x + 1 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 - 4x < 0 \iff x(x - 4) < 0 \iff x \in (0; 4). $$ Пересечем с условием $x \ge 1$: $$ \begin{cases} x \ge 1, \\ 0 < x < 4 \end{cases} \iff x \in [1; 4). $$ Объединим решения обеих систем: $$ \left[-\frac{1}{2}; 1\right) \cup [1; 4) = \left[-\frac{1}{2}; 4\right). $$ Ответ: $\left[-\frac{1}{2}; 4\right)$.