ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 42

**а)** Решим уравнение: $$ e^{x^2 - 4x + 5} + \sqrt[3]{x^2 - 4x + 5} = e^{2x^2 - 3x + 7} + \sqrt[3]{2x^2 - 3x + 7} $$ Рассмотрим функцию: $$ f(t) = e^t + \sqrt[3]{t} $$ Функция $y = e^t$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, так как $e > 1$. Функция $y = \sqrt[3]{t}$ также является строго возрастающей на $\mathbb{R}$. Сумма двух строго возрастающих функций есть функция строго возрастающая на $\mathbb{R}$. Следовательно, каждое своё значение функция $f(t)$ принимает ровно один раз, то есть равенство $f(u) = f(v)$ выполняется тогда и только тогда, когда $u = v$. В данном уравнении $u = x^2 - 4x + 5$, $v = 2x^2 - 3x + 7$: $$ x^2 - 4x + 5 = 2x^2 - 3x + 7 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ (2x^2 - x^2) + (-3x + 4x) + (7 - 5) = 0 $$ $$ x^2 + x + 2 = 0 $$ Найдём дискриминант квадратного уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 $$ Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: решений нет. --- **б)** Решим уравнение: $$ \pi^{x^2 + 1000} + \sqrt[9]{x^2 + 1000} = \pi^{2002x - 1001} + \sqrt[9]{2002x - 1001} $$ Рассмотрим функцию: $$ f(t) = \pi^t + \sqrt[9]{t} $$ Поскольку $\pi > 1$, показательная функция $y = \pi^t$ строго возрастает на $\mathbb{R}$. Функция корня нечётной степени $y = \sqrt[9]{t}$ также строго возрастает на $\mathbb{R}$. Значит, функция $f(t)$ строго возрастает на всей области определения как сумма возрастающих функций. Отсюда следует, что $f(u) = f(v) \iff u = v$. Приравняем аргументы: $$ x^2 + 1000 = 2002x - 1001 $$ $$ x^2 - 2002x + 2001 = 0 $$ Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: $1 - 2002 + 2001 = 0$. По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 2001 $$ Ответ: $1;\ 2001$. --- **в)** Решим уравнение: $$ \left( \frac{1}{2} \right)^{\sin x} - \sqrt[5]{\sin x} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x} - \sqrt[5]{\cos x} $$ Рассмотрим функцию: $$ f(t) = \left(\frac{1}{2}\right)^t - \sqrt[5]{t} $$ Функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^t$ строго убывает на $\mathbb{R}$, так как $0 < \frac{1}{2} < 1$. Функция $y = \sqrt[5]{t}$ строго возрастает на $\mathbb{R}$, следовательно, функция $y = -\sqrt[5]{t}$ строго убывает на $\mathbb{R}$. Сумма двух строго убывающих функций $f(t) = \left(\frac{1}{2}\right)^t + (-\sqrt[5]{t})$ является строго убывающей на $\mathbb{R}$. Поэтому равенство $f(u) = f(v)$ возможно тогда и только тогда, когда $u = v$. В данном случае $u = \sin x$, $v = \cos x$: $$ \sin x = \cos x $$ Разделим обе части уравнения на $\cos x \ne 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству): $$ \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **г)** Решим уравнение: $$ \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin x} - (\sin x)^{2001} = \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin^2 x} - (\sin x)^{4002} $$ Преобразуем второе слагаемое в правой части, используя свойство степеней $(\sin x)^{4002} = ((\sin x)^2)^{2001} = (\sin^2 x)^{2001}$: $$ \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin x} - (\sin x)^{2001} = \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin^2 x} - (\sin^2 x)^{2001} $$ Рассмотрим функцию: $$ f(t) = \left(\frac{1}{3}\right)^t - t^{2001} $$ Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^t$ является строго убывающей на $\mathbb{R}$, поскольку $0 < \frac{1}{3} < 1$. Степенная функция $y = t^{2001}$ с нечётным показателем строго возрастает на $\mathbb{R}$, значит, функция $y = -t^{2001}$ строго убывает на $\mathbb{R}$. Таким образом, $f(t)$ — строго убывающая функция на всей числовой прямой, и равенство $f(u) = f(v)$ равносильно равенству $u = v$. Здесь $u = \sin x$, $v = \sin^2 x$: $$ \sin x = \sin^2 x $$ $$ \sin^2 x - \sin x = 0 $$ $$ \sin x (\sin x - 1) = 0 $$ Получаем два простейших тригонометрических уравнения: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; 2) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\pi n, \quad n \in \mathbb{Z};\quad \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.