ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 40

### а) Рассмотрим уравнение: $$ \sqrt{x^2 - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 3} = \sqrt{x+1} + \sqrt[4]{x+3} $$ Заметим, что подкоренные выражения можно связать одной зависимостью: - для левой части: $x^2 - 5 = (x^2 - 3) - 2$; - для правой части: $x + 1 = (x + 3) - 2$. Введём функцию: $$ f(t) = \sqrt{t - 2} + \sqrt[4]{t} $$ Область определения функции задаётся условиями $t - 2 \ge 0$ и $t \ge 0$, то есть $t \in [2; +\infty)$. Функции $y = \sqrt{t - 2}$ и $y = \sqrt[4]{t}$ являются строго возрастающими на промежутке $[2; +\infty)$, следовательно, их сумма $f(t)$ также строго возрастает на $[2; +\infty)$. Исходное уравнение принимает вид: $$ f(x^2 - 3) = f(x + 3) $$ В силу строгой монотонности функции $f(t)$ равенство $f(u) = f(v)$ возможно тогда и только тогда, когда $u = v$ при условии, что оба значения принадлежат области определения функции: $$ \begin{cases} x^2 - 3 = x + 3, \\ x^2 - 3 \ge 2, \\ x + 3 \ge 2 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 $$ Проверим выполнение условий области определения: 1. При $x = 3$: $x^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \ge 2$ (верно), $x + 3 = 3 + 3 = 6 \ge 2$ (верно). Значит, $x = 3$ — корень уравнения. 2. При $x = -2$: $x + 3 = -2 + 3 = 1 < 2$ (условие не выполняется, подкоренное выражение $x + 1 = -1 < 0$). Ответ: $3$. --- ### б) Рассмотрим уравнение: $$ \sqrt[4]{x^2 - x - 3} + \sqrt{x^2 - x + 5} = \sqrt[4]{2x+1} + \sqrt{2x+9} $$ Заметим связь между слагаемыми: - в левой части: $(x^2 - x + 5) - (x^2 - x - 3) = 8$; - в правой части: $(2x + 9) - (2x + 1) = 8$. Рассмотрим функцию: $$ f(t) = \sqrt[4]{t} + \sqrt{t + 8} $$ Она определена при $t \ge 0$ и является строго возрастающей на луче $[0; +\infty)$ как сумма двух строго возрастающих функций. Исходное уравнение можно записать в виде: $$ f(x^2 - x - 3) = f(2x + 1) $$ Так как функция $f(t)$ строго монотонна, получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} x^2 - x - 3 = 2x + 1, \\ 2x + 1 \ge 0, \\ x^2 - x - 3 \ge 0 \end{cases} $$ Решим уравнение: $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -1 $$ Проверим ограничения: 1. При $x = 4$: $2x + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \ge 0$ (верно), $x^2 - x - 3 = 16 - 4 - 3 = 9 \ge 0$ (верно). Значит, $x = 4$ является решением. 2. При $x = -1$: $2x + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1 < 0$ (условие не выполнено). Ответ: $4$. --- ### в) Рассмотрим уравнение: $$ \sqrt{\sin x - 0,1} + \sqrt[4]{\sin x + 0,9} = \sqrt{\cos x + 0,9} + \sqrt[4]{\cos x + 1,9} $$ Преобразуем выражения под корнями четвёртой степени: - $\sin x + 0,9 = (\sin x - 0,1) + 1$; - $\cos x + 1,9 = (\cos x + 0,9) + 1$. Введём функцию: $$ f(t) = \sqrt{t} + \sqrt[4]{t + 1} $$ Функция $f(t)$ определена при $t \ge 0$ и строго возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Тогда исходное уравнение записывается в виде: $$ f(\sin x - 0,1) = f(\cos x + 0,9) $$ В силу строгой монотонности функции $f(t)$ уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x - 0,1 = \cos x + 0,9, \\ \sin x - 0,1 \ge 0, \\ \cos x + 0,9 \ge 0 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение: $$ \sin x - \cos x = 1 $$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Отсюда получаем две серии решений: 1. $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2. $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\sin x \ge 0,1$ для найденных серий: 1. Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: $\sin x = 1 \ge 0,1$ и $\cos x = 0 \ge -0,9$ — условия выполняются. 2. Для $x = \pi + 2\pi k$: $\sin x = 0$, но $0 < 0,1$ — условие не выполняется (подкоренное выражение $\sin x - 0,1$ отрицательно). Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### г) Рассмотрим уравнение: $$ \sqrt[4]{\tg x} + \sqrt{\tg x + 1} = \sqrt[4]{2 - \ctg x} + \sqrt{3 - \ctg x} $$ Заметим, что подкоренные выражения квадратных корней на единицу больше выражений под корнями четвёртой степени: - $(\tg x + 1) - \tg x = 1$; - $(3 - \ctg x) - (2 - \ctg x) = 1$. Введём функцию: $$ f(t) = \sqrt[4]{t} + \sqrt{t + 1} $$ Функция $f(t)$ определена и строго возрастает при $t \ge 0$. Исходное уравнение принимает вид: $$ f(\tg x) = f(2 - \ctg x) $$ Так как функция $f(t)$ строго монотонна, получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} \tg x = 2 - \ctg x, \\ \tg x \ge 0, \\ 2 - \ctg x \ge 0 \end{cases} $$ Учитывая, что $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, решим уравнение: $$ \tg x = 2 - \frac{1}{\tg x} $$ Умножим обе части уравнения на $\tg x \neq 0$: $$ \tg^2 x - 2\tg x + 1 = 0 $$ $$ (\tg x - 1)^2 = 0 \implies \tg x = 1 $$ Проверим ограничения системы: - $\tg x = 1 \ge 0$ (верно); - $2 - \ctg x = 2 - 1 = 1 \ge 0$ (верно). Решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $$ \tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.