ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 85

а) $\sqrt{2x^2 - 8x + 5} = x - 2$ Иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x^2 - 8x + 5 = (x - 2)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки во втором уравнении: $$ 2x^2 - 8x + 5 = x^2 - 4x + 4 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены: $$ 2x^2 - x^2 - 8x + 4x + 5 - 4 = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 1 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$ Проверим условие $x \ge 2$: 1) Для $x_1 = 2 + \sqrt{3}$: так как $\sqrt{3} > 0$, то $2 + \sqrt{3} > 2$ — условие выполняется. 2) Для $x_2 = 2 - \sqrt{3}$: так как $\sqrt{3} > 0$, то $2 - \sqrt{3} < 2$ — условие не выполняется, корень посторонний. Ответ: $2 + \sqrt{3}$. б) $\sqrt{2x^2 - 8x + 6} = x - 2$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x^2 - 8x + 6 = (x - 2)^2 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение: $$ 2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 4x + 4 $$ $$ 2x^2 - x^2 - 8x + 4x + 6 - 4 = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} $$ Проверим условие $x \ge 2$: 1) Для $x_1 = 2 + \sqrt{2}$: значение $2 + \sqrt{2} > 2$ — условие выполняется. 2) Для $x_2 = 2 - \sqrt{2}$: значение $2 - \sqrt{2} < 2$ — условие не выполняется, корень посторонний. Ответ: $2 + \sqrt{2}$.