ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 83

**а)** $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^3 - 5x^2 + 7x - 17 = x^3 - 4x^2 - 3x + 4 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены: $$ x^3 - 5x^2 + 7x - 17 - x^3 + 4x^2 + 3x - 4 = 0 $$ $$ -x^2 + 10x - 21 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^2 - 10x + 21 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 \cdot x_2 = 21 \end{cases} \implies x_1 = 3, \quad x_2 = 7 $$ Проверим найденные корни подстановкой в подкоренные выражения: 1) При $x = 3$: $3^3 - 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 - 17 = 27 - 45 + 21 - 17 = -14 < 0$. Подкоренное выражение отрицательно, следовательно, $x = 3$ — посторонний корень. 2) При $x = 7$: $7^3 - 5 \cdot 7^2 + 7 \cdot 7 - 17 = 343 - 245 + 49 - 17 = 130 \ge 0$, $7^3 - 4 \cdot 7^2 - 3 \cdot 7 + 4 = 343 - 196 - 21 + 4 = 130 \ge 0$. Равенство $\sqrt{130} = \sqrt{130}$ верно, значит, $x = 7$ является корнем уравнения. Ответ: $7$. --- **б)** $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^3 - 8x^2 - 7x + 2 = x^3 - 7x^2 - 18x + 20 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^3 - 8x^2 - 7x + 2 - x^3 + 7x^2 + 18x - 20 = 0 $$ $$ -x^2 + 11x - 18 = 0 $$ $$ x^2 - 11x + 18 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 11 \\ x_1 \cdot x_2 = 18 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 9 $$ Проверим корни: 1) При $x = 2$: $2^3 - 8 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 8 - 32 - 14 + 2 = -36 < 0$. Значение под корнем отрицательно, поэтому $x = 2$ — посторонний корень. 2) При $x = 9$: $9^3 - 8 \cdot 9^2 - 7 \cdot 9 + 2 = 729 - 648 - 63 + 2 = 20 \ge 0$, $9^3 - 7 \cdot 9^2 - 18 \cdot 9 + 20 = 729 - 567 - 162 + 20 = 20 \ge 0$. Равенство $\sqrt{20} = \sqrt{20}$ верно, следовательно, $x = 9$ — корень уравнения. Ответ: $9$. --- **в)** $\sqrt{x^3 - 4x^2 + 20x - 81} = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 6x - 41}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^3 - 4x^2 + 20x - 81 = x^3 - 3x^2 + 6x - 41 $$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ x^3 - 4x^2 + 20x - 81 - x^3 + 3x^2 - 6x + 41 = 0 $$ $$ -x^2 + 14x - 40 = 0 $$ $$ x^2 - 14x + 40 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 14 \\ x_1 \cdot x_2 = 40 \end{cases} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = 10 $$ Проверим корни: 1) При $x = 4$: $4^3 - 3 \cdot 4^2 + 6 \cdot 4 - 41 = 64 - 48 + 24 - 41 = -1 < 0$. Подкоренное выражение отрицательно, значит, $x = 4$ — посторонний корень. 2) При $x = 10$: $10^3 - 3 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10 - 41 = 1000 - 300 + 60 - 41 = 719 \ge 0$, $10^3 - 4 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 - 81 = 1000 - 400 + 200 - 81 = 719 \ge 0$. Равенство $\sqrt{719} = \sqrt{719}$ верно, следовательно, $x = 10$ является корнем. Ответ: $10$. --- **г)** $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 15x - 77} = \sqrt{x^3 - 4x^2 + 2x - 37}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^3 - 5x^2 + 15x - 77 = x^3 - 4x^2 + 2x - 37 $$ Перенесем слагаемые в левую часть: $$ x^3 - 5x^2 + 15x - 77 - x^3 + 4x^2 - 2x + 37 = 0 $$ $$ -x^2 + 13x - 40 = 0 $$ $$ x^2 - 13x + 40 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 13 \\ x_1 \cdot x_2 = 40 \end{cases} \implies x_1 = 5, \quad x_2 = 8 $$ Проверим корни: 1) При $x = 5$: $5^3 - 4 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 - 37 = 125 - 100 + 10 - 37 = -2 < 0$. Подкоренное выражение отрицательно, следовательно, $x = 5$ — посторонний корень. 2) При $x = 8$: $8^3 - 4 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8 - 37 = 512 - 256 + 16 - 37 = 235 \ge 0$, $8^3 - 5 \cdot 8^2 + 15 \cdot 8 - 77 = 512 - 320 + 120 - 77 = 235 \ge 0$. Равенство $\sqrt{235} = \sqrt{235}$ верно, значит, $x = 8$ является корнем. Ответ: $8$.