ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 31

**a)** $3^{4x + \sin x} > 3^{\sin x + 2}$ *(в условии учебника показатель степени в левой части равен $4x + \sin x$)*. Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется: $$ 4x + \sin x > \sin x + 2 $$ Вычтем $\sin x$ из обеих частей неравенства: $$ 4x > 2 $$ $$ x > 0{,}5 $$ **Ответ:** $x \in (0{,}5; +\infty)$. --- **b)** $(x^2 - \sin x)^{17} > (x^2 + 0{,}5)^{17}$. Функция $f(t) = t^{17}$ определена на $\mathbb{R}$ и является строго возрастающей, так как показатель степени $17$ — нечётное натуральное число. Следовательно: $$ x^2 - \sin x > x^2 + 0{,}5 $$ Вычтем $x^2$ из обеих частей: $$ -\sin x > 0{,}5 $$ $$ \sin x < -0{,}5 $$ Решим простейшее тригонометрическое неравенство с помощью единичной окружности: $$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$. --- **c)** $16^{\sqrt[3]{3x - 50}} < 16^{\sqrt[3]{2x + 20}}$ *(в условии учебника числа $-50$ и $+20$ находятся под знаками кубических корней)*. Так как основание степени $16 > 1$, показательная функция $y = 16^t$ строго возрастает: $$ \sqrt[3]{3x - 50} < \sqrt[3]{2x + 20} $$ Функция кубического корня $y = \sqrt[3]{t}$ строго возрастает на $\mathbb{R}$. Перейдём к подкоренным выражениям: $$ 3x - 50 < 2x + 20 $$ $$ 3x - 2x < 20 + 50 $$ $$ x < 70 $$ *(Примечание: при буквальном прочтении записи $16^{\sqrt[3]{3x} - 50} < 16^{\sqrt[3]{2x} + 20}$ получаем $\sqrt[3]{3x} - \sqrt[3]{2x} < 70 \iff x < \frac{70^3}{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^3}$).* **Ответ:** $x \in (-\infty; 70)$. --- **d)** $\sqrt[3]{3 \sin^2 x + 4^x - 3} > \sqrt[3]{-3 \cos^2 x + 2^x}$ *(в условии учебника число $-3$ входит в подкоренное выражение левой части)*. Функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ строго возрастает на всей области определения $\mathbb{R}$: $$ 3 \sin^2 x + 4^x - 3 > -3 \cos^2 x + 2^x $$ Сгруппируем тригонометрические слагаемые: $$ 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x - 3 + 4^x > 2^x $$ $$ 3(\sin^2 x + \cos^2 x) - 3 + 4^x > 2^x $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ 3 \cdot 1 - 3 + 4^x > 2^x $$ $$ 4^x > 2^x $$ $$ (2^2)^x > 2^x \iff 2^{2x} > 2^x $$ Так как основание $2 > 1$, функция $y = 2^t$ строго возрастает: $$ 2x > x $$ $$ x > 0 $$ **Ответ:** $x \in (0; +\infty)$. --- **e)** $\sqrt[5]{\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28} < \sqrt[5]{-\cos^2 x + 9^x}$ *(в условии учебника число $-28$ входит в подкоренное выражение левой части)*. Функция $f(t) = \sqrt[5]{t}$ строго возрастает на $\mathbb{R}$: $$ \sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28 < -\cos^2 x + 9^x $$ Перенесём $-\cos^2 x$ в левую часть: $$ (\sin^2 x + \cos^2 x) + 12 \cdot 3^x - 28 < 9^x $$ Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ 1 + 12 \cdot 3^x - 28 < 9^x $$ $$ 12 \cdot 3^x - 27 < 9^x $$ $$ 9^x - 12 \cdot 3^x + 27 > 0 $$ Так как $9^x = (3^x)^2$, выполним замену переменной $t = 3^x$ (где $t > 0$): $$ t^2 - 12t + 27 > 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена по теореме Виета: $$ t_1 + t_2 = 12, \quad t_1 \cdot t_2 = 27 \implies t_1 = 3, \quad t_2 = 9 $$ Разложим на множители: $$ (t - 3)(t - 9) > 0 $$ Решением неравенства относительно $t$ являются промежутки: $$ t < 3 \quad \text{или} \quad t > 9 $$ Возвращаемся к переменной $x$: 1) $3^x < 3^1 \iff x < 1$ (так как основание $3 > 1$); 2) $3^x > 3^2 \iff x > 2$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.