ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 30

**а)** $5x^2 - 2x > 2x - 2$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства и приведём подобные члены: $$ 5x^2 - 4x + 2 > 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $5x^2 - 4x + 2$. Найдём его дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 16 - 40 = -24 $$ Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 5 > 0$), график функции $y = 5x^2 - 4x + 2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, которая целиком лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство верно при любых действительных значениях переменной. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- **б)** $3x^2 - x > 5x - 1$ Перенесём все члены в левую часть неравенства: $$ 3x^2 - 6x + 1 > 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $3x^2 - 6x + 1 = 0$, используя формулу для чётного второго коэффициента ($k = -3$): $$ D_1 = k^2 - ac = (-3)^2 - 3 \cdot 1 = 9 - 3 = 6 $$ $$ x_1 = \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{6}}{3} $$ Старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Неравенство строго больше нуля, поэтому решением являются внешние промежутки относительно корней. Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; +\infty\right)$. --- **в)** $3x^2 - x < 21 - x$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 3x^2 - x + x - 21 < 0 $$ $$ 3x^2 - 21 < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $3$: $$ x^2 - 7 < 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) < 0 $$ Корни трёхчлена: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$. Выражение принимает отрицательные значения между корнями. Ответ: $x \in (-\sqrt{7}; \sqrt{7})$. --- **г)** $7x^2 - 5x < 65 - x$ Перенесём все члены в левую часть: $$ 7x^2 - 5x + x - 65 < 0 $$ $$ 7x^2 - 4x - 65 < 0 $$ Найдём корни уравнения $7x^2 - 4x - 65 = 0$ через четверть дискриминанта ($k = -2$): $$ D_1 = k^2 - ac = (-2)^2 - 7 \cdot (-65) = 4 + 455 = 459 $$ Упростим корень из дискриминанта: $$ \sqrt{D_1} = \sqrt{459} = \sqrt{9 \cdot 51} = 3\sqrt{51} $$ Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{2 - 3\sqrt{51}}{7}, \quad x_2 = \frac{2 + 3\sqrt{51}}{7} $$ Поскольку старший коэффициент $a = 7 > 0$ и знак неравенства $<$, решением является интервал, заключённый между корнями. Ответ: $x \in \left(\frac{2 - 3\sqrt{51}}{7}; \frac{2 + 3\sqrt{51}}{7}\right)$.