ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 27

a) $4^{2x-7} > 2^{3x+1}$ Приведём обе части неравенства к одному основанию $2$. Так как $4 = 2^2$, получаем: $$ (2^2)^{2x-7} > 2^{3x+1} $$ $$ 2^{2(2x-7)} > 2^{3x+1} $$ $$ 2^{4x-14} > 2^{3x+1} $$ Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ 4x - 14 > 3x + 1 $$ $$ 4x - 3x > 1 + 14 $$ $$ x > 15 $$ Ответ: $x \in (15; +\infty)$. --- b) $7^{5x+1} < 49^{x-2}$ Приведём обе части неравенства к основанию $7$. Так как $49 = 7^2$, получаем: $$ 7^{5x+1} < (7^2)^{x-2} $$ $$ 7^{5x+1} < 7^{2(x-2)} $$ $$ 7^{5x+1} < 7^{2x-4} $$ Так как основание степени $7 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 5x + 1 < 2x - 4 $$ $$ 5x - 2x < -4 - 1 $$ $$ 3x < -5 $$ $$ x < -\frac{5}{3} $$ $$ x < -1\frac{2}{3} $$ Ответ: $x \in \left(-\infty; -1\frac{2}{3}\right)$. --- c) $5^{3x-1} < 25^{x+1}$ Приведём обе части неравенства к основанию $5$. Так как $25 = 5^2$, получаем: $$ 5^{3x-1} < (5^2)^{x+1} $$ $$ 5^{3x-1} < 5^{2(x+1)} $$ $$ 5^{3x-1} < 5^{2x+2} $$ Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 3x - 1 < 2x + 2 $$ $$ 3x - 2x < 2 + 1 $$ $$ x < 3 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 3)$. --- d) $8^{x+1} > 64^x$ Приведём обе части неравенства к основанию $8$. Так как $64 = 8^2$, получаем: $$ 8^{x+1} > (8^2)^x $$ $$ 8^{x+1} > 8^{2x} $$ Так как основание степени $8 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x + 1 > 2x $$ $$ x - 2x > -1 $$ $$ -x > -1 $$ Разделим обе части на $-1$, меняя знак неравенства на противоположный: $$ x < 1 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.