ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 69

**а)** $$ \frac{17}{5x} = 2 - \frac{7}{x} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $5x$: $$ 17 = 2 \cdot 5x - 7 \cdot 5 $$ $$ 17 = 10x - 35 $$ $$ 10x = 17 + 35 $$ $$ 10x = 52 $$ $$ x = 5{,}2 $$ Значение $x = 5{,}2$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $5{,}2$. --- **б)** $$ \frac{x-1}{x+1} - 3 \cdot \frac{x+1}{x-1} + 2 = 0 $$ ОДЗ: $x \neq -1$, $x \neq 1$. Введем замену переменной: пусть $t = \frac{x-1}{x+1}$, тогда $\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{t}$, где $t \neq 0$. Получаем уравнение: $$ t - \frac{3}{t} + 2 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 + 2t - 3 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$. Вернемся к переменной $x$: 1) При $t = 1$: $$ \frac{x-1}{x+1} = 1 $$ $$ x - 1 = x + 1 \implies -1 = 1 $$ Уравнение не имеет решений. 2) При $t = -3$: $$ \frac{x-1}{x+1} = -3 $$ $$ x - 1 = -3(x + 1) $$ $$ x - 1 = -3x - 3 $$ $$ 4x = -2 $$ $$ x = -0{,}5 $$ Значение $x = -0{,}5$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-0{,}5$. --- **в)** $$ \frac{3x-6}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0 $$ ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$. Вынесем общий множитель $3$ в числителе первой дроби: $$ \frac{3(x-2)}{2x} + 4 \cdot \frac{x}{x-2} - 5 = 0 $$ Пусть $u = \frac{x-2}{x}$, тогда $\frac{x}{x-2} = \frac{1}{u}$ (где $u \neq 0$): $$ \frac{3}{2}u + \frac{4}{u} - 5 = 0 $$ Умножим уравнение на $2u$: $$ 3u^2 - 10u + 8 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2 $$ $$ u_1 = \frac{10 + 2}{6} = 2, \quad u_2 = \frac{10 - 2}{6} = \frac{4}{3} $$ Вернемся к переменной $x$: 1) При $u = 2$: $$ \frac{x-2}{x} = 2 $$ $$ x - 2 = 2x \implies x = -2 $$ 2) При $u = \frac{4}{3}$: $$ \frac{x-2}{x} = \frac{4}{3} $$ $$ 3(x - 2) = 4x $$ $$ 3x - 6 = 4x \implies x = -6 $$ Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-6$; $-2$. --- **г)** $$ \frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2 + 3x + 2} $$ Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$. ОДЗ: $x \neq -1$, $x \neq -2$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x+2)$: $$ 3(x+1) - (2x-1)(x+2) = 2x+1 $$ Раскроем скобки: $$ 3x + 3 - (2x^2 + 4x - x - 2) = 2x + 1 $$ $$ 3x + 3 - 2x^2 - 3x + 2 = 2x + 1 $$ $$ -2x^2 + 5 = 2x + 1 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ 2x^2 + 2x - 4 = 0 $$ Разделим на $2$: $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 $$ Проверим ОДЗ: Корень $x = -2$ не входит в ОДЗ (обращает знаменатель в нуль). Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $1$. --- **д)** $$ \left( \frac{x^3 + 8}{x^3 + 4x^2 + 4x} - \frac{2}{x+2} \right) (x-2)^{-2} = \frac{1}{3} $$ Запишем выражение в виде дробей и определим ОДЗ: Знаменатели и основания степеней не должны равняться нулю: - $x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4) = x(x+2)^2 \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -2$; - $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$; - $(x-2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2} \implies x \neq 2$. ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq 2$. Упростим выражение в скобках. Разложим числитель и знаменатель первой дроби: $$ \frac{x^3 + 8}{x^3 + 4x^2 + 4x} = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 - 2x + 4}{x(x+2)} $$ Выполним вычитание: $$ \frac{x^2 - 2x + 4}{x(x+2)} - \frac{2}{x+2} = \frac{x^2 - 2x + 4 - 2x}{x(x+2)} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x(x+2)} = \frac{(x-2)^2}{x(x+2)} $$ Подставим полученный результат в исходное уравнение: $$ \frac{(x-2)^2}{x(x+2)} \cdot \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{1}{3} $$ Сократим на $(x-2)^2 \neq 0$: $$ \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{3} $$ $$ x(x+2) = 3 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 $$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-3$; $1$.