ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 68

Если квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональный корень вида $a + \sqrt{b}$ (где $a, b \in \mathbb{Q}$, а $\sqrt{b}$ — иррациональное число), то вторым корнем обязательно является сопряжённое число $a - \sqrt{b}$. Составим приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, используя теорему Виета: $$ p = -(x_1 + x_2), \quad q = x_1 \cdot x_2 $$ **а)** Дано: корень $x_1 = 4 - \sqrt{3}$. Тогда вторым корнем является сопряжённое число: $x_2 = 4 + \sqrt{3}$. 1. Найдём сумму корней: $$ x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{3}) + (4 + \sqrt{3}) = 8 $$ Отсюда коэффициент $p = -8$. 2. Найдём произведение корней, используя формулу разности квадратов: $$ x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13 $$ Отсюда свободный член $q = 13$. Искомое квадратное уравнение: $x^2 - 8x + 13 = 0$. **б)** Дано: корень $x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Тогда вторым корнем является сопряжённое число: $x_2 = 2 - \sqrt{3}$. 1. Найдём сумму корней: $$ x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 $$ Отсюда коэффициент $p = -4$. 2. Найдём произведение корней по формуле разности квадратов: $$ x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 $$ Отсюда свободный член $q = 1$. Искомое квадратное уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$. **Ответ:** а) $x^2 - 8x + 13 = 0$; б) $x^2 - 4x + 1 = 0$.