ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 75

а) Приведём уравнение эллипса $x^2 + 9y^2 = 9$ к каноническому виду, разделив обе части на $9$: $$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1 $$ $$ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1 $$ Полуоси эллипса равны $a = 3$ и $b = 1$. Фигура симметрична относительно координатных осей $Ox$ и $Oy$, поэтому её общая площадь $S$ в четыре раза больше площади части фигуры, расположенной в первой координатной четверти ($x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$). Выразим $y$ для верхней половины эллипса: $$ 9y^2 = 9 - x^2 $$ $$ y = \frac{1}{3}\sqrt{9 - x^2} $$ Для первой четверти переменная $x$ изменяется от $0$ до $3$. Запишем площадь через определенный интеграл: $$ S = 4 \int_{0}^{3} \frac{1}{3}\sqrt{9 - x^2} \, dx = \frac{4}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx $$ Интеграл $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$ геометрически равен площади четверти круга радиуса $R = 3$: $$ \int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4} $$ Подставим полученное значение в выражение для площади фигуры: $$ S = \frac{4}{3} \cdot \frac{9\pi}{4} = 3\pi $$ Ответ: $3\pi$. --- б) Приведём уравнение эллипса $4x^2 + y^2 = 4$ к каноническому виду, разделив обе части на $4$: $$ \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1 $$ $$ \frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 $$ Полуоси эллипса равны $a = 1$ и $b = 2$. В силу симметрии эллипса относительно осей координат вычислим площадь четверти фигуры, расположенной в первом квадранте ($x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$), и умножим её на $4$. Выразим $y$ для верхней половины эллипса: $$ y^2 = 4 - 4x^2 = 4(1 - x^2) $$ $$ y = 2\sqrt{1 - x^2} $$ Для первой четверти переменная $x$ изменяется от $0$ до $1$. Тогда площадь всей фигуры равна: $$ S = 4 \int_{0}^{1} 2\sqrt{1 - x^2} \, dx = 8 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx $$ Интеграл $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx$ геометрически представляет собой площадь четверти круга радиуса $R = 1$: $$ \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4} $$ Вычислим искомую площадь: $$ S = 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi $$ Ответ: $2\pi$.