ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 72

**а)** 1. Выясним взаимное расположение графиков функций $y = 4 + 0,5x^2$ и $y = 2x + 2$ на отрезке $[0; 3]$. Рассмотрим разность функций: $$ (4 + 0,5x^2) - (2x + 2) = 0,5x^2 - 2x + 2 = 0,5(x^2 - 4x + 4) = 0,5(x - 2)^2 $$ Так как $0,5(x - 2)^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, то на отрезке $[0; 3]$ график параболы $y = 4 + 0,5x^2$ лежит не ниже касательной $y = 2x + 2$ (с касанием в точке $x = 2$). 2. Вычислим площадь $S$ фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{0}^{3} \left( (4 + 0,5x^2) - (2x + 2) \right) dx = \int_{0}^{3} (0,5x^2 - 2x + 2) dx $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left[ \frac{0,5x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x \right]_{0}^{3} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left( \frac{3^3}{6} - 3^2 + 2 \cdot 3 \right) - 0 = \frac{27}{6} - 9 + 6 = 4,5 - 3 = 1,5 $$ **Ответ:** $1,5$. --- **б)** 1. Выясним взаимное расположение графиков функций $y = 8 - 0,5x^2$ и $y = 2x + 10$ на отрезке $[-3; 0]$. Рассмотрим разность функций: $$ (2x + 10) - (8 - 0,5x^2) = 0,5x^2 + 2x + 2 = 0,5(x^2 + 4x + 4) = 0,5(x + 2)^2 $$ Так как $0,5(x + 2)^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, то на отрезке $[-3; 0]$ прямая $y = 2x + 10$ лежит не ниже параболы $y = 8 - 0,5x^2$ (с касанием в точке $x = -2$). 2. Вычислим площадь $S$ фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{-3}^{0} \left( (2x + 10) - (8 - 0,5x^2) \right) dx = \int_{-3}^{0} (0,5x^2 + 2x + 2) dx $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left[ \frac{0,5x^3}{3} + x^2 + 2x \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{x^3}{6} + x^2 + 2x \right]_{-3}^{0} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = 0 - \left( \frac{(-3)^3}{6} + (-3)^2 + 2 \cdot (-3) \right) = - \left( -\frac{27}{6} + 9 - 6 \right) = -(-4,5 + 3) = -(-1,5) = 1,5 $$ **Ответ:** $1,5$.