ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 32

Геометрический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ (при $a < b$) заключается в том, что он равен алгебраической сумме площадей фигур, ограниченных графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = a$, $x = b$. Площади частей фигуры, расположенных выше оси $Ox$, берутся со знаком «плюс», а расположенных ниже оси $Ox$ — со знаком «минус». **а)** $\int_{0}^{2} x \, dx$ На отрезке $[0; 2]$ функция $y = x$ неотрицательна ($y \ge 0$). График функции, ось $Ox$ и прямая $x = 2$ образуют прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0; 0)$, $(2; 0)$ и $(2; 2)$. Катеты треугольника равны $a = 2$ и $b = 2$. Площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $$ Так как фигура расположена выше оси $Ox$: $$ \int_{0}^{2} x \, dx = S = 2 $$ **Ответ:** $2$ --- **б)** $\int_{0}^{2} (-x) \, dx$ На отрезке $[0; 2]$ функция $y = -x$ неположительна ($y \le 0$). График функции, ось $Ox$ и прямая $x = 2$ ограничивают прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0; 0)$, $(2; 0)$ и $(2; -2)$. Катеты треугольника равны $2$ и $|-2| = 2$. Площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $$ Так как фигура расположена под осью $Ox$, значение интеграла равно взятой со знаком «минус» площади: $$ \int_{0}^{2} (-x) \, dx = -S = -2 $$ **Ответ:** $-2$ --- **в)** $\int_{-4}^{0} x \, dx$ На отрезке $[-4; 0]$ функция $y = x$ неположительна ($y \le 0$). График функции, ось $Ox$ и прямая $x = -4$ ограничивают прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(-4; 0)$, $(0; 0)$ и $(-4; -4)$. Катеты треугольника равны $0 - (-4) = 4$ и $|-4| = 4$. Площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 $$ Так как фигура расположена под осью $Ox$: $$ \int_{-4}^{0} x \, dx = -S = -8 $$ **Ответ:** $-8$ --- **г)** $\int_{0}^{4} x \, dx$ На отрезке $[0; 4]$ функция $y = x$ неотрицательна ($y \ge 0$). График функции, ось $Ox$ и прямая $x = 4$ образуют прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0; 0)$, $(4; 0)$ и $(4; 4)$. Катеты треугольника равны $4$ и $4$. Площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 $$ Так как фигура расположена выше оси $Ox$: $$ \int_{0}^{4} x \, dx = S = 8 $$ **Ответ:** $8$ --- **д)** $\int_{1}^{3} (1 - x) \, dx$ На отрезке $[1; 3]$ функция $y = 1 - x$ неположительна ($y \le 0$): при $x = 1$ значение $y = 0$, при $x = 3$ значение $y = -2$. График функции, ось $Ox$ и прямая $x = 3$ образуют прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(1; 0)$, $(3; 0)$ и $(3; -2)$. Катеты треугольника: вдоль оси $Ox$ равен $3 - 1 = 2$, вдоль оси $Oy$ равен $|-2| = 2$. Площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $$ Так как фигура расположена ниже оси $Ox$: $$ \int_{1}^{3} (1 - x) \, dx = -S = -2 $$ **Ответ:** $-2$ --- **е)** $\int_{-1}^{1} (2x + 2) \, dx$ На отрезке $[-1; 1]$ функция $y = 2x + 2$ неотрицательна ($y \ge 0$): при $x = -1$ значение $y = 0$, при $x = 1$ значение $y = 4$. График функции, ось $Ox$ и прямая $x = 1$ образуют прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(-1; 0)$, $(1; 0)$ и $(1; 4)$. Катеты треугольника: вдоль оси $Ox$ равен $1 - (-1) = 2$, вдоль оси $Oy$ равен $4$. Площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 $$ Так как фигура расположена выше оси $Ox$: $$ \int_{-1}^{1} (2x + 2) \, dx = S = 4 $$ **Ответ:** $4$