ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 33

Для вычисления определенных интегралов применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$ где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. а) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} (1-x)\,dx$: Одной из первообразных функции $f(x) = 1 - x$ является функция $F(x) = x - \frac{x^2}{2}$. $$ \int_{2}^{4} (1-x)\,dx = \left.\left(x - \frac{x^2}{2}\right)\right|_{2}^{4} = \left(4 - \frac{4^2}{2}\right) - \left(2 - \frac{2^2}{2}\right) = (4 - 8) - (2 - 2) = -4 - 0 = -4 $$ б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{3} (2x+1)\,dx$: Одной из первообразных функции $f(x) = 2x + 1$ является функция $F(x) = x^2 + x$. $$ \int_{0}^{3} (2x+1)\,dx = \left.\left(x^2 + x\right)\right|_{0}^{3} = \left(3^2 + 3\right) - \left(0^2 + 0\right) = (9 + 3) - 0 = 12 $$ в) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} (3x-1)\,dx$: Одной из первообразных функции $f(x) = 3x - 1$ является функция $F(x) = \frac{3x^2}{2} - x$. $$ \int_{2}^{3} (3x-1)\,dx = \left.\left(\frac{3x^2}{2} - x\right)\right|_{2}^{3} = \left(\frac{3 \cdot 3^2}{2} - 3\right) - \left(\frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2\right) = \left(\frac{27}{2} - 3\right) - (6 - 2) = 10{,}5 - 4 = 6{,}5 $$ Ответ: а) $-4$; б) $12$; в) $6{,}5$ (или $6\frac{1}{2}$).