ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 29

**а)** По плану задания 6.27 разобьем отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей точками $x_k = \frac{k}{n}$, где $k = 0, 1, \dots, n$. Длина каждого частичного отрезка равна: $$ \Delta x = \frac{1}{n} $$ В качестве точек выберем правые концы отрезков: $c_k = x_k = \frac{k}{n}$. Значение функции $f(x) = x + 1$ в этих точках равно: $$ f(x_k) = \frac{k}{n} + 1 $$ Интегральная сумма вычисляется по формуле: $$ S_n = \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n} + 1\right) \cdot \frac{1}{n} $$ Вычислим суммы для $n = 1, 2, 3, 4$: 1. При $n = 1$: $\Delta x = 1$, $x_1 = 1$. $$ S_1 = f(1) \cdot 1 = (1 + 1) \cdot 1 = 2 $$ 2. При $n = 2$: $\Delta x = \frac{1}{2}$, $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = 1$. $$ S_2 = \left(f\left(\frac{1}{2}\right) + f(1)\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(\left(\frac{1}{2} + 1\right) + (1 + 1)\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{3}{2} + 2\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{4} = 1{,}75 $$ 3. При $n = 3$: $\Delta x = \frac{1}{3}$, $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2}{3}$, $x_3 = 1$. $$ S_3 = \left(f\left(\frac{1}{3}\right) + f\left(\frac{2}{3}\right) + f(1)\right) \cdot \frac{1}{3} = \left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3} + 2\right) \cdot \frac{1}{3} = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$ 4. При $n = 4$: $\Delta x = \frac{1}{4}$, $x_1 = \frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{2}{4}$, $x_3 = \frac{3}{4}$, $x_4 = 1$. $$ S_4 = \left(f\left(\frac{1}{4}\right) + f\left(\frac{2}{4}\right) + f\left(\frac{3}{4}\right) + f(1)\right) \cdot \frac{1}{4} = \left(\frac{5}{4} + \frac{6}{4} + \frac{7}{4} + \frac{8}{4}\right) \cdot \frac{1}{4} = \frac{26}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{8} = 1{,}625 $$ --- **б)** Найдем общий вид интегральной суммы $S_n$: $$ S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n} + 1\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1 $$ Используя формулу суммы первых $n$ натуральных чисел $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, получаем: $$ S_n = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{n} \cdot n = \frac{n+1}{2n} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2n} $$ Вычислим предел интегральной суммы при $n \to +\infty$: $$ \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ Предел существует и равен $1{,}5$. --- **в)** Найдем точки пересечения прямых $y = x + 1$, $y = 0$ и $x = 1$: 1. $y = x + 1$ и $y = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$, точка $(-1; 0)$. 2. $x = 1$ и $y = 0 \implies$ точка $(1; 0)$. 3. $y = x + 1$ и $x = 1 \implies y = 1 + 1 = 2$, точка $(1; 2)$. Данные прямые ограничивают прямоугольный треугольник с вершинами $(-1; 0)$, $(1; 0)$ и $(1; 2)$. Длина основания на оси $Ox$ равна $1 - (-1) = 2$, а высота равна $2 - 0 = 2$. Площадь треугольника равна: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $$ *(Примечание: если фигура рассматривается на отрезке $[0; 1]$ из пунктов **а** и **б**, то есть дополнительно ограничена прямой $x = 0$, то она представляет собой трапецию с основаниями $1$ и $2$ и высотой $1$, ее площадь равна $\frac{1 + 2}{2} \cdot 1 = 1{,}5$, что соответствует значению предела из пункта **б**).* --- **Ответ:** **а)** $S_1 = 2$; $S_2 = 1{,}75$; $S_3 = 1\frac{2}{3}$; $S_4 = 1{,}625$. **б)** Да, существует; предел равен $1{,}5$. **в)** $2$ (для фигуры на отрезке $[0; 1]$ площадь равна $1{,}5$).