ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 28

**а)** В задании 6.27 рассматривалась функция $f(x) = x$, и её интегральная сумма имела вид: $$ S_n = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} $$ В задании 6.28 рассматривается функция $f(x) = -x$. Интегральные суммы отличаются только знаком: в задании 6.28 все слагаемые имеют противоположные знаки, то есть интегральная сумма отличается от суммы в задании 6.27 множителем $-1$. **б)** Найдем предел интегральной суммы при $n \to \infty$. Используем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: $$ 0 + 1 + 2 + \ldots + (n - 1) = \frac{0 + (n - 1)}{2} \cdot n = \frac{n(n - 1)}{2} $$ Подставим полученное выражение в формулу интегральной суммы: $$ S_n = -\frac{1}{n^2} \cdot (0 + 1 + 2 + \ldots + (n - 1)) = -\frac{n(n - 1)}{2n^2} = -\frac{n - 1}{2n} = -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{n}\right) $$ Вычислим предел последовательности $S_n$ при $n \to \infty$: $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\right) = -\frac{1}{2}(1 - 0) = -\frac{1}{2} $$ Предел интегральной суммы равен $-\frac{1}{2}$. **в)** Фигура, ограниченная прямыми $y = -x$, $y = 0$ и $x = 1$, расположена в четвертой координатной четверти под осью абсцисс и представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(1; -1)$. Длины катетов этого треугольника равны $1$ и $|-1| = 1$. Площадь треугольника равна половине произведения его катетов: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} $$ Так как фигура расположена под осью $Ox$, ее площадь также равна модулю предела интегральной суммы (или модулю соответствующего определенного интеграла): $$ S = \left|\lim_{n \to \infty} S_n\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} $$ **Ответ:** а) отличаются знаком (в 6.28 сумма противоположна сумме из 6.27); б) $-\frac{1}{2}$; в) $\frac{1}{2}$.